Решение задачи: Градиент функции u(M) в точке M1

Вариант №15 Задание 1. Дана функция \( u(M) = \ln(xy + yz + xz) \) и точки \( M_1(-2, 3, -1) \), \( M_2(2, 1, -3) \). б) Найдем градиент функции в точке \( M_1 \). Градиент вычисляется по формуле: \[ \text{grad } u = \frac{\partial u}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{k} \] Вычислим частные производные: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y + z}{xy + yz + xz} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x + z}{xy + yz + xz} \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{y + x}{xy + yz + xz} \] Подставим координаты точки \( M_1(-2, 3, -1) \): Знаменатель: \( (-2) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = -6 - 3 + 2 = -7 \). \[ \frac{\partial u}{\partial x}(M_1) = \frac{3 - 1}{-7} = -\frac{2}{7} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y}(M_1) = \frac{-2 - 1}{-7} = \frac{3}{7} \] \[ \frac{\partial u}{\partial z}(M_1) = \frac{3 - 2}{-7} = -\frac{1}{7} \] Ответ (б): \( \text{grad } u(M_1) = \left( -\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, -\frac{1}{7} \right) \). а) Найдем производную по направлению вектора \( \vec{l} = \vec{M_1M_2} \). Координаты вектора: \( \vec{l} = (2 - (-2), 1 - 3, -3 - (-1)) = (4, -2, -2) \). Длина вектора: \( |\vec{l}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \). Направляющие косинусы: \( \cos \alpha = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \), \( \cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{6}} \), \( \cos \gamma = -\frac{1}{\sqrt{6}} \). Производная по направлению: \[ \frac{\partial u}{\partial l} = \text{grad } u \cdot \vec{l^0} = -\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{3}{7} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) + \left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \] \[ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{-4 - 3 + 1}{7\sqrt{6}} = -\frac{6}{7\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{7} \] Задание 2. Является ли поле \( \vec{a} = yz\vec{i} + xz\vec{j} + xy\vec{k} \) соленоидальным? Поле соленоидально, если его дивергенция равна нулю: \( \text{div } \vec{a} = 0 \). \[ \text{div } \vec{a} = \frac{\partial (yz)}{\partial x} + \frac{\partial (xz)}{\partial y} + \frac{\partial (xy)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0 \] Ответ: Да, поле является соленоидальным. Задание 3. Вычислить ротор поля \( \vec{a} = 6xy\vec{i} + (3x^2 - 2y)\vec{j} + z\vec{k} \). \[ \text{rot } \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy & 3x^2 - 2y & z \end{vmatrix} \] \[ \text{rot } \vec{a} = \vec{i}(0 - 0) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(6x - 6x) = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k} = \vec{0} \] Ответ: \( \text{rot } \vec{a} = \vec{0} \). Задание 4. Вычислить циркуляцию \( \vec{a} = (2z - x)\vec{i} + (x - y)\vec{j} + (3x + z)\vec{k} \) по контуру треугольника. Используем теорему Стокса: \( C = \iint_S \text{rot } \vec{a} \cdot \vec{n} dS \). Найдем ротор: \[ \text{rot } \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ 2z-x & x-y & 3x+z \end{vmatrix} = \vec{i}(0-0) - \vec{j}(3-2) + \vec{k}(1-0) = -\vec{j} + \vec{k} \] Уравнение плоскости: \( x + y + 2z = 2 \). Вектор нормали \( \vec{N} = (1, 1, 2) \). Единичный вектор нормали: \( \vec{n} = \frac{(1, 1, 2)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, 2) \). Скалярное произведение: \( \text{rot } \vec{a} \cdot \vec{n} = (0, -1, 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, 2) = \frac{-1 + 2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \). Циркуляция: \( C = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \text{Area}(S) \). Площадь треугольника в пространстве: точки пересечения с осями \( A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,1) \). \( \text{Area}(S) = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |(-2, 2, 0) \times (-2, 0, 1)| = \frac{1}{2} |(2, 2, 4)| = \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6} \). Ответ: \( C = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{6} = 1 \). Задание 5. Вычислить поток \( \vec{a} = (x - 2y)\vec{i} + z\vec{j} + (3y + z)\vec{k} \) через часть сферы в 1-м октанте. Используем формулу Гаусса-Остроградского для замкнутой поверхности, но здесь только часть сферы. Проще вычислить через поверхностный интеграл. \( \text{div } \vec{a} = \frac{\partial (x-2y)}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial (3y+z)}{\partial z} = 1 + 0 + 1 = 2 \). Если бы поверхность была замкнутой (с учетом граней на координатных плоскостях), поток был бы \( \iint \text{div } \vec{a} dV = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{\pi}{3} \) (при \( R=1 \)). Однако нужно вычислить поток именно через сферическую часть. На сфере \( x^2+y^2+z^2=1 \), нормаль \( \vec{n} = (x, y, z) \). \( \vec{a} \cdot \vec{n} = (x-2y)x + zy + (3y+z)z = x^2 - 2xy + zy + 3yz + z^2 = (x^2+z^2) - 2xy + 4yz \). Перейдем в сферические координаты: \( x = \sin\theta\cos\phi, y = \sin\theta\sin\phi, z = \cos\theta \). Интегрируем по \( \phi \in [0, \pi/2] \) и \( \theta \in [0, \pi/2] \). После вычислений: Ответ: \( \Pi = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3} \).