Решение задач: Итоговое тестирование, Вариант 1

Хорошо, давайте решим все задания по порядку. Итоговое тестирование Вариант 1 1. Упростите выражение: \[3\sqrt{xy} + 8\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{625x^2y^2} - 2\sqrt[8]{x^2}\] Решение: Сначала упростим каждый член выражения. \[\sqrt[4]{625x^2y^2} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (xy)^2} = 5\sqrt[4]{(xy)^2} = 5\sqrt{xy}\] \[2\sqrt[8]{x^2} = 2x^{2/8} = 2x^{1/4} = 2\sqrt[4]{x}\] Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение: \[3\sqrt{xy} + 8\sqrt[4]{x} - 5\sqrt{xy} - 2\sqrt[4]{x}\] Сгруппируем подобные члены: \[(3\sqrt{xy} - 5\sqrt{xy}) + (8\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{x})\] \[-2\sqrt{xy} + 6\sqrt[4]{x}\] Ответ: \(-2\sqrt{xy} + 6\sqrt[4]{x}\) 2. Найдите наибольшее целочисленное решение системы неравенств \[\begin{cases} 3(x^2 - 1) \ge 21 \\ 4(x + 11) < -2(x + 8) \end{cases}\] Решение: Решим каждое неравенство отдельно. Первое неравенство: \[3(x^2 - 1) \ge 21\] Разделим обе части на 3: \[x^2 - 1 \ge 7\] \[x^2 \ge 8\] Извлечем квадратный корень из обеих частей: \[|x| \ge \sqrt{8}\] \[|x| \ge 2\sqrt{2}\] Это означает, что \(x \le -2\sqrt{2}\) или \(x \ge 2\sqrt{2}\). Приближенное значение \(2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828\). Значит, \(x \le -2.828\) или \(x \ge 2.828\). Второе неравенство: \[4(x + 11) < -2(x + 8)\] Раскроем скобки: \[4x + 44 < -2x - 16\] Перенесем члены с \(x\) в одну сторону, а константы в другую: \[4x + 2x < -16 - 44\] \[6x < -60\] Разделим обе части на 6: \[x < -10\] Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Решение первого неравенства: \((-\infty; -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}; +\infty)\) Решение второго неравенства: \((-\infty; -10)\) На числовой прямой: \(x \le -2.828\) или \(x \ge 2.828\) \(x < -10\) Пересечение этих интервалов: \((-\infty; -10)\). Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию \(x < -10\), это \(-11\). Ответ: \(-11\) 3. Решите уравнение \[\log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14\] Решение: Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Переведем все логарифмы к основанию 2. \[\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}\] \[\log_{\sqrt{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 x}{1/2} = 2\log_2 x\] Подставим эти выражения в исходное уравнение: \[\frac{\log_2 x}{3} + 2\log_2 x = 14\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{\log_2 x + 6\log_2 x}{3} = 14\] \[\frac{7\log_2 x}{3} = 14\] Умножим обе части на 3: \[7\log_2 x = 42\] Разделим обе части на 7: \[\log_2 x = 6\] По определению логарифма: \[x = 2^6\] \[x = 64\] Проверим область допустимых значений: \(x > 0\). \(64 > 0\), так что решение подходит. Ответ: \(64\) 4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \[\frac{4}{-4 + 4\sqrt{3}}\] Решение: Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Знаменатель: \(-4 + 4\sqrt{3}\). Сопряженное выражение: \(-4 - 4\sqrt{3}\). \[\frac{4}{-4 + 4\sqrt{3}} = \frac{4(-4 - 4\sqrt{3})}{(-4 + 4\sqrt{3})(-4 - 4\sqrt{3})}\] Используем формулу \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). Здесь \(a = -4\) и \(b = 4\sqrt{3}\). Знаменатель: \[(-4)^2 - (4\sqrt{3})^2 = 16 - (16 \cdot 3) = 16 - 48 = -32\] Числитель: \[4(-4 - 4\sqrt{3}) = -16 - 16\sqrt{3}\] Теперь соберем дробь: \[\frac{-16 - 16\sqrt{3}}{-32}\] Разделим числитель и знаменатель на \(-16\): \[\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\] Ответ: \(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) 5. Найдите значение выражения при \(x = 9\) \[\left(\frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 4} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\right) : \left(1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}\right)\] Решение: Сначала упростим выражение, а затем подставим \(x = 9\). Заметим, что \(x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3\) и \(x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)\). Первая скобка: \[\frac{(\sqrt{x})^3 - 2^3}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\] Используем формулу разности кубов \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[\frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\] Сократим \(\sqrt{x} - 2\): \[\frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\] Общий знаменатель уже есть: \[\frac{x + 2\sqrt{x} + 4 - 6\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2}\] Заметим, что \(x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} - 2)^2\). Значит, первая скобка равна: \[\frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x} + 2}\] Вторая скобка: \[1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} - \frac{4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2 - 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}\] Теперь разделим первое выражение на второе: \[\frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x} + 2} : \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}\] Сократим \(\sqrt{x} + 2\) и одну степень \(\sqrt{x} - 2\): \[\sqrt{x} - 2\] Теперь подставим \(x = 9\): \[\sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1\] Ответ: \(1\) 6. Постройте график функции \(y = |2x - 3|\). Укажите область значения функции, промежуток возрастания, решите уравнение \(y(x) = 0\). Решение: График функции \(y = |2x - 3|\). Функция модуля определяется как: \[|A| = \begin{cases} A, & \text{если } A \ge 0 \\ -A, & \text{если } A < 0 \end{cases}\] В нашем случае \(A = 2x - 3\). Найдем точку, где \(2x - 3 = 0\): \[2x = 3\] \[x = 1.5\] Значит, функция раскрывается так: \[y = \begin{cases} 2x - 3, & \text{если } 2x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.5 \\ -(2x - 3), & \text{если } 2x - 3 < 0 \Rightarrow x < 1.5 \end{cases}\] \[y = \begin{cases} 2x - 3, & \text{если } x \ge 1.5 \\ -2x + 3, & \text{если } x < 1.5 \end{cases}\] График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки \((1.5; 0)\). Для \(x \ge 1.5\), это прямая \(y = 2x - 3\). Например, при \(x = 2\), \(y = 2(2) - 3 = 1\). Точка \((2; 1)\). Для \(x < 1.5\), это прямая \(y = -2x + 3\). Например, при \(x = 0\), \(y = -2(0) + 3 = 3\). Точка \((0; 3)\). Область значения функции: Так как \(|2x - 3|\) всегда неотрицательно, то \(y \ge 0\). Область значения: \([0; +\infty)\). Промежуток возрастания: Функция возрастает, когда \(2x - 3 \ge 0\), то есть при \(x \ge 1.5\). Промежуток возрастания: \([1.5; +\infty)\). Решите уравнение \(y(x) = 0\): \[|2x - 3| = 0\] \[2x - 3 = 0\] \[2x = 3\] \[x = 1.5\] Ответ: График функции: (Описание графика: это "галочка" с вершиной в точке \((1.5; 0)\). Левая ветвь идет вверх влево, правая ветвь идет вверх вправо.) Область значения функции: \([0; +\infty)\). Промежуток возрастания: \([1.5; +\infty)\). Решение уравнения \(y(x) = 0\): \(x = 1.5\). 7. Решите неравенство \(\sqrt{24 - 2x - x^2} > x\) Решение: Это неравенство с корнем. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части \(x\). Случай 1: \(x < 0\). Если \(x < 0\), то правая часть отрицательна. Левая часть \(\sqrt{24 - 2x - x^2}\) всегда неотрицательна (если определена). Значит, \(\sqrt{24 - 2x - x^2} > x\) будет выполняться, если подкоренное выражение неотрицательно. \[24 - 2x - x^2 \ge 0\] \[x^2 + 2x - 24 \le 0\] Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100\). \[x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}\] \[x_1 = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] \[x_2 = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Парабола \(x^2 + 2x - 24\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 + 2x - 24 \le 0\) при \(-6 \le x \le 4\). Учитывая условие \(x < 0\), получаем \(-6 \le x < 0\). Случай 2: \(x \ge 0\). Если \(x \ge 0\), то обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести обе части в квадрат. \[24 - 2x - x^2 > x^2\] Также необходимо учесть условие, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(24 - 2x - x^2 \ge 0\). Из первого случая мы знаем, что это выполняется при \(-6 \le x \le 4\). Итак, для этого случая у нас есть система: \[\begin{cases} x \ge 0 \\ 24 - 2x - x^2 > x^2 \\ 24 - 2x - x^2 \ge 0 \end{cases}\] Рассмотрим второе неравенство: \[24 - 2x - x^2 > x^2\] \[24 - 2x - 2x^2 > 0\] Разделим на \(-2\) и поменяем знак неравенства: \[x^2 + x - 12 < 0\] Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\). \[x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}\] \[x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] \[x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Парабола \(x^2 + x - 12\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 + x - 12 < 0\) при \(-4 < x < 3\). Теперь объединим все условия для Случая 2: \[x \ge 0\] \[-6 \le x \le 4\] (из условия подкоренного выражения) \[-4 < x < 3\] (из возведения в квадрат) Пересечение этих условий: \([0; 3)\). Объединим решения из Случая 1 и Случая 2: Случай 1: \([-6; 0)\) Случай 2: \([0; 3)\) Объединение: \([-6; 3)\). Ответ: \([-6; 3)\) 8. Найдите область определения функции \[y = \frac{2}{\sqrt{2x - 1}} + \log_2 x\] Решение: Для нахождения области определения функции необходимо учесть ограничения для каждого члена. Для первого члена \(\frac{2}{\sqrt{2x - 1}}\): 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(