Решение задачи №4 через двойной интеграл

Для решения задания №1 через двойной интеграл (если подразумевается нахождение производной по направлению как проекции градиента, где компоненты градиента можно представить через интегральные характеристики, или если вы имели в виду задание №4 или №5, где двойные интегралы являются основным методом), я пересчитаю **Задание №4** (циркуляцию) и **Задание №5** (поток) классическим способом через двойной интеграл по проекции области, так как именно они чаще всего вызывают затруднения. Ниже приведено решение **Задания №4** через двойной интеграл (по теореме Стокса с переходом к проекции на плоскость \( Oxy \)). \[ \text{Задание №4} \] Дано: \( \vec{a} = (2z - x)\vec{i} + (x - y)\vec{j} + (3x + z)\vec{k} \). Контур — пересечение плоскости \( x + y + 2z = 2 \) с координатными плоскостями. 1. По теореме Стокса циркуляция равна: \[ C = \iint_{S} \text{rot } \vec{a} \cdot \vec{n} \, dS \] 2. Вычислим ротор поля \( \vec{a} \): \[ \text{rot } \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2z-x & x-y & 3x+z \end{vmatrix} = \vec{i}(0-0) - \vec{j}(3-2) + \vec{k}(1-0) = (0, -1, 1) \] 3. Уравнение поверхности: \( z = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \). Вектор нормали к плоскости \( f(x,y,z) = x + y + 2z - 2 = 0 \): \[ \vec{N} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (1, 1, 2) \] Так как обход положительный (против часовой стрелки, если смотреть сверху), нормаль направлена вверх (\( N_z > 0 \)). 4. Перейдем к двойному интегралу по проекции \( D \) на плоскость \( Oxy \). Формула перехода: \( \iint_{S} (P, Q, R) \cdot \vec{n} \, dS = \iint_{D} \left( -P \frac{\partial z}{\partial x} - Q \frac{\partial z}{\partial y} + R \right) dx dy \). Здесь \( (P, Q, R) = \text{rot } \vec{a} = (0, -1, 1) \). Частные производные от \( z = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{2} \] 5. Подставляем в интеграл: \[ C = \iint_{D} \left( -0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 \right) dx dy \] \[ C = \iint_{D} \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) dx dy = \iint_{D} \frac{1}{2} dx dy = \frac{1}{2} \iint_{D} dx dy \] 6. Область \( D \) — это проекция треугольника на плоскость \( Oxy \). При \( z=0 \) уравнение \( x + y + 2(0) = 2 \Rightarrow x + y = 2 \). Это прямоугольный треугольник с катетами \( 2 \) и \( 2 \). Его площадь: \( S_D = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \). 7. Итоговое значение циркуляции: \[ C = \frac{1}{2} \cdot S_D = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] Ответ: \( 1 \).