Решение задачи: Определение реакций опор твердого тела

Задача по теоретической механике: Определение реакций опор твердого тела. Дано: \(AB = 3l\); \(BC = 2l\); \(F_1 = 1,5P\); \(F_2 = 2P\); \(M = 3Pl\); \(P\) — сила тяжести; \(F_2 \parallel yz\). Найти: Реакции опор \(A\) (сферический шарнир), \(B\) (цилиндрический шарнир вдоль оси \(y\)) и усилие в стержне \(CC'\). Решение: 1. Анализ связей и реакций: В точке \(A\) (сферический шарнир) возникают три реакции: \(X_A, Y_A, Z_A\). В точке \(B\) (цилиндрический шарнир) возникают две реакции: \(X_B, Z_B\). В точке \(C\) стержень \(CC'\) создает реакцию \(R_C\), направленную вдоль стержня под углом \(60^\circ\) к плоскости \(xy\). 2. Проекции сил: Сила \(F_1\) направлена вдоль оси \(x\): \(F_{1x} = 1,5P\). Сила \(F_2\) лежит в плоскости \(yz\): \(F_{2y} = -F_2 \cdot \cos(30^\circ) = -2P \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -P\sqrt{3}\); \(F_{2z} = F_2 \cdot \sin(30^\circ) = 2P \cdot 0,5 = P\). Реакция стержня \(R_C\): \(R_{Cy} = -R_C \cdot \cos(60^\circ) = -0,5 R_C\); \(R_{Cz} = R_C \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} R_C\). Момент \(M\) направлен вдоль оси \(x\). 3. Уравнения равновесия: \[ \sum M_{Ax} = 0: M - P \cdot 1,5l + R_{Cz} \cdot 3l - F_{2z} \cdot 3l = 0 \] \[ 3Pl - 1,5Pl + \frac{\sqrt{3}}{2} R_C \cdot 3l - P \cdot 3l = 0 \] \[ 1,5 \sqrt{3} R_C = 1,5P \Rightarrow R_C = \frac{P}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}P \] \[ \sum M_{Az} = 0: -X_B \cdot 3l + F_{1x} \cdot 2l = 0 \] \[ -X_B \cdot 3l + 1,5P \cdot 2l = 0 \Rightarrow 3X_B = 3P \Rightarrow X_B = P \] \[ \sum M_{Ay} = 0: Z_B \cdot 3l - P \cdot l + R_{Cz} \cdot 0 - F_{2z} \cdot 0 = 0 \] (Примечание: плечо силы \(P\) относительно оси \(y\) равно \(l\), так как она приложена в центре плиты). \[ 3l Z_B = Pl \Rightarrow Z_B = \frac{1}{3}P \] \[ \sum F_x = 0: X_A + X_B - F_1 = 0 \] \[ X_A + P - 1,5P = 0 \Rightarrow X_A = 0,5P \] \[ \sum F_y = 0: Y_A + F_{2y} + R_{Cy} = 0 \] \[ Y_A - P\sqrt{3} - 0,5 \cdot \frac{P}{\sqrt{3}} = 0 \] \[ Y_A = P\sqrt{3} + \frac{P}{2\sqrt{3}} = \frac{6P + P}{2\sqrt{3}} = \frac{7P}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{6}P \] \[ \sum F_z = 0: Z_A + Z_B - P + F_{2z} + R_{Cz} = 0 \] \[ Z_A + \frac{1}{3}P - P + P + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{P}{\sqrt{3}} = 0 \] \[ Z_A + \frac{1}{3}P + 0,5P = 0 \Rightarrow Z_A = -\frac{5}{6}P \] Ответ: \(R_C = \frac{\sqrt{3}}{3}P\); \(X_A = 0,5P\); \(Y_A = \frac{7\sqrt{3}}{6}P\); \(Z_A = -\frac{5}{6}P\); \(X_B = P\); \(Z_B = \frac{1}{3}P\).