Решение: Решить 11 задачу по указаниям

Хорошо, давайте решим задачу номер 11. Задача 11: Найти неопределенный интеграл. \[ \int \frac{\sqrt[6]{x^5} - 5x^2 + 3}{x} dx \] Решение: Сначала разделим числитель на знаменатель, чтобы получить сумму или разность степенных функций, которые легко интегрировать. Вспомним, что \( \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \). Тогда \( \sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}} \). Теперь перепишем подынтегральное выражение: \[ \frac{x^{\frac{5}{6}} - 5x^2 + 3}{x} = \frac{x^{\frac{5}{6}}}{x} - \frac{5x^2}{x} + \frac{3}{x} \] Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ \frac{x^{\frac{5}{6}}}{x} = x^{\frac{5}{6} - 1} = x^{\frac{5}{6} - \frac{6}{6}} = x^{-\frac{1}{6}} \] \[ \frac{5x^2}{x} = 5x^{2-1} = 5x^1 = 5x \] \[ \frac{3}{x} = 3x^{-1} \] Теперь наш интеграл выглядит так: \[ \int \left( x^{-\frac{1}{6}} - 5x + 3x^{-1} \right) dx \] Воспользуемся свойствами интегралов: интеграл суммы равен сумме интегралов, и константу можно вынести за знак интеграла. \[ \int x^{-\frac{1}{6}} dx - \int 5x dx + \int 3x^{-1} dx \] \[ \int x^{-\frac{1}{6}} dx - 5 \int x dx + 3 \int x^{-1} dx \] Теперь проинтегрируем каждое слагаемое, используя формулы: 1. \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), при \( n \neq -1 \) 2. \( \int \frac{1}{x} dx = \int x^{-1} dx = \ln|x| + C \) Для первого слагаемого: \( n = -\frac{1}{6} \) \[ \int x^{-\frac{1}{6}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{6} + 1}}{-\frac{1}{6} + 1} + C_1 = \frac{x^{\frac{5}{6}}}{\frac{5}{6}} + C_1 = \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C_1 \] Для второго слагаемого: \( n = 1 \) \[ -5 \int x dx = -5 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2 = -5 \frac{x^2}{2} + C_2 = -\frac{5}{2} x^2 + C_2 \] Для третьего слагаемого: \( n = -1 \) \[ 3 \int x^{-1} dx = 3 \ln|x| + C_3 \] Собираем все части вместе и объединяем константы интегрирования в одну \( C \): \[ \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} - \frac{5}{2} x^2 + 3 \ln|x| + C \] Можно записать \( x^{\frac{5}{6}} \) обратно как корень: \( \sqrt[6]{x^5} \). Окончательный ответ: \[ \int \frac{\sqrt[6]{x^5} - 5x^2 + 3}{x} dx = \frac{6}{5} \sqrt[6]{x^5} - \frac{5}{2} x^2 + 3 \ln|x| + C \]