Задача 1699
Ученик массой 50 кг, стоя на льду, отбрасывает от себя горизонтально портфель массой 1 кг со скоростью 5 м/с. С какой скоростью и в каком направлении после броска начнет двигаться ученик?
Дано:
\(m_1 = 50\) кг (масса ученика)
\(m_2 = 1\) кг (масса портфеля)
\(v_2 = 5\) м/с (скорость портфеля после броска)
Найти:
\(v_1\) (скорость ученика после броска)
Решение:
Эта задача решается с помощью закона сохранения импульса. Изначально ученик и портфель находятся в покое, поэтому их общий импульс равен нулю.
Начальный импульс системы (ученик + портфель):
\(P_{нач} = (m_1 + m_2) \cdot 0 = 0\)
После броска портфель движется в одном направлении, а ученик — в противоположном, чтобы сохранить общий импульс равным нулю.
Конечный импульс системы:
\(P_{кон} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\)
По закону сохранения импульса:
\(P_{нач} = P_{кон}\)
\(0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\)
Отсюда выразим скорость ученика \(v_1\):
\(m_1 \cdot v_1 = -m_2 \cdot v_2\)
\(v_1 = -\frac{m_2 \cdot v_2}{m_1}\)
Подставим значения:
\(v_1 = -\frac{1 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{50 \text{ кг}}\)
\(v_1 = -\frac{5}{50} \text{ м/с}\)
\(v_1 = -0.1 \text{ м/с}\)
Знак минус означает, что ученик будет двигаться в направлении, противоположном направлению броска портфеля.
Ответ: Ученик начнет двигаться со скоростью 0.1 м/с в направлении, противоположном направлению броска портфеля.
Задача 1700
Коляска массой 40 кг движется равномерно и прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 3 м/с. На ходу в нее кладут сумку массой 10 кг. Как изменится скорость коляски?
Дано:
\(m_1 = 40\) кг (масса коляски)
\(v_1 = 3\) м/с (начальная скорость коляски)
\(m_2 = 10\) кг (масса сумки)
Найти:
\(v_{общ}\) (конечная скорость коляски с сумкой)
Решение:
Это задача на абсолютно неупругое соударение (или присоединение массы). Система "коляска + сумка" является замкнутой, поэтому применяется закон сохранения импульса.
Начальный импульс системы (коляска):
\(P_{нач} = m_1 \cdot v_1\)
После того как сумку положили в коляску, они движутся как единое целое с общей массой \(m_{общ} = m_1 + m_2\) и некоторой конечной скоростью \(v_{общ}\).
Конечный импульс системы (коляска с сумкой):
\(P_{кон} = (m_1 + m_2) \cdot v_{общ}\)
По закону сохранения импульса:
\(P_{нач} = P_{кон}\)
\(m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_{общ}\)
Выразим конечную скорость \(v_{общ}\):
\(v_{общ} = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2}\)
Подставим значения:
\(v_{общ} = \frac{40 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}}{40 \text{ кг} + 10 \text{ кг}}\)
\(v_{общ} = \frac{120 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{50 \text{ кг}}\)
\(v_{общ} = 2.4 \text{ м/с}\)
Скорость коляски изменилась с 3 м/с до 2.4 м/с.
Изменение скорости: \(\Delta v = v_{общ} - v_1 = 2.4 \text{ м/с} - 3 \text{ м/с} = -0.6 \text{ м/с}\)
Ответ: Скорость коляски уменьшится на 0.6 м/с и станет равной 2.4 м/с.
Задача 1701
На неподвижную тележку наезжает точно такая же тележка, едущая со скоростью 1 м/с, и сцепляется с первой. Какой скоростью будут обладать тележки после сцепки?
Дано:
\(m_1 = m\) (масса первой тележки)
\(v_1 = 0\) (начальная скорость первой тележки)
\(m_2 = m\) (масса второй тележки)
\(v_2 = 1\) м/с (начальная скорость второй тележки)
Найти:
\(v_{общ}\) (конечная скорость двух сцепленных тележек)
Решение:
Это также задача на абсолютно неупругое соударение. Система "две тележки" является замкнутой.
Начальный импульс системы:
\(P_{нач} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\)
Поскольку первая тележка неподвижна (\(v_1 = 0\)):
\(P_{нач} = m \cdot 0 + m \cdot 1 \text{ м/с} = m \cdot 1 \text{ м/с}\)
После сцепки тележки движутся как единое целое с общей массой \(m_{общ} = m_1 + m_2 = m + m = 2m\) и некоторой конечной скоростью \(v_{общ}\).
Конечный импульс системы:
\(P_{кон} = (m_1 + m_2) \cdot v_{общ} = 2m \cdot v_{общ}\)
По закону сохранения импульса:
\(P_{нач} = P_{кон}\)
\(m \cdot 1 \text{ м/с} = 2m \cdot v_{общ}\)
Выразим конечную скорость \(v_{общ}\):
\(v_{общ} = \frac{m \cdot 1 \text{ м/с}}{2m}\)
\(v_{общ} = \frac{1}{2} \text{ м/с}\)
\(v_{общ} = 0.5 \text{ м/с}\)
Ответ: После сцепки тележки будут обладать скоростью 0.5 м/с.
Задача 1702
Снаряд, летевший горизонтально со скоростью 12 м/с, разорвался на две части массами 800 г и 1700 г. Скорость большего осколка осталась горизонтальной и возросла до 24 м/с. Определите скорость и направление полета меньшего осколка.
Дано:
\(m_{снаряда} = 800 \text{ г} + 1700 \text{ г} = 2500 \text{ г} = 2.5\) кг (масса снаряда)
\(v_{снаряда} = 12\) м/с (начальная скорость снаряда)
\(m_1 = 800 \text{ г} = 0.8\) кг (масса меньшего осколка)
\(m_2 = 1700 \text{ г} = 1.7\) кг (масса большего осколка)
\(v_2 = 24\) м/с (скорость большего осколка)
Найти:
\(v_1\) (скорость меньшего осколка)
Решение:
Это задача на закон сохранения импульса при взрыве (разрыве). Внешние силы (например, сила тяжести) не успевают существенно изменить импульс системы в момент взрыва, поэтому импульс сохраняется.
Начальный импульс снаряда:
\(P_{нач} = m_{снаряда} \cdot v_{снаряда}\)
\(P_{нач} = 2.5 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} = 30 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
После разрыва снаряд распадается на два осколка. Пусть направление движения снаряда до взрыва будет положительным.
Конечный импульс системы (двух осколков):
\(P_{кон} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\)
По закону сохранения импульса:
\(P_{нач} = P_{кон}\)
\(m_{снаряда} \cdot v_{снаряда} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\)
Выразим скорость меньшего осколка \(v_1\):
\(m_1 \cdot v_1 = m_{снаряда} \cdot v_{снаряда} - m_2 \cdot v_2\)
\(v_1 = \frac{m_{снаряда} \cdot v_{снаряда} - m_2 \cdot v_2}{m_1}\)
Подставим значения:
\(v_1 = \frac{2.5 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} - 1.7 \text{ кг} \cdot 24 \text{ м/с}}{0.8 \text{ кг}}\)
\(v_1 = \frac{30 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 40.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.8 \text{ кг}}\)
\(v_1 = \frac{-10.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.8 \text{ кг}}\)
\(v_1 = -13.5 \text{ м/с}\)
Знак минус означает, что меньший осколок будет двигаться в направлении, противоположном первоначальному направлению движения снаряда и направлению движения большего осколка.
Ответ: Меньший осколок будет двигаться со скоростью 13.5 м/с в направлении, противоположном первоначальному направлению полета снаряда.
Задача 1703
Ружье массой 4 кг, подвешенное горизонтально на петлях (рис. 232), стреляет пулей массой 0.01 кг, которая летит со скоростью 700 м/с. Какова скорость отдачи ружья при стрельбе? Можно ли уменьшить скорость отдачи при стрельбе?
Дано:
\(m_{ружья} = 4\) кг (масса ружья)
\(m_{пули} = 0.01\) кг (масса пули)
\(v_{пули} = 700\) м/с (скорость пули)
Найти:
\(v_{отдачи}\) (скорость отдачи ружья)
Решение:
Это задача на закон сохранения импульса при выстреле. Изначально ружье и пуля находятся в покое, поэтому их общий импульс равен нулю.
Начальный импульс системы (ружье + пуля):
\(P_{нач} = (m_{ружья} + m_{пули}) \cdot 0 = 0\)
После выстрела пуля движется в одном направлении, а ружье (отдача) — в противоположном.
Конечный импульс системы:
\(P_{кон} = m_{ружья} \cdot v_{отдачи} + m_{пули} \cdot v_{пули}\)
По закону сохранения импульса:
\(P_{нач} = P_{кон}\)
\(0 = m_{ружья} \cdot v_{отдачи} + m_{пули} \cdot v_{пули}\)
Выразим скорость отдачи ружья \(v_{отдачи}\):
\(m_{ружья} \cdot v_{отдачи} = -m_{пули} \cdot v_{пули}\)
\(v_{отдачи} = -\frac{m_{пули} \cdot v_{пули}}{m_{ружья}}\)
Подставим значения:
\(v_{отдачи} = -\frac{0.01 \text{ кг} \cdot 700 \text{ м/с}}{4 \text{ кг}}\)
\(v_{отдачи} = -\frac{7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{4 \text{ кг}}\)
\(v_{отдачи} = -1.75 \text{ м/с}\)
Знак минус означает, что ружье движется в направлении, противоположном направлению полета пули.
Можно ли уменьшить скорость отдачи при стрельбе?
Да, скорость отдачи можно уменьшить. Из формулы \(v_{отдачи} = -\frac{m_{пули} \cdot v_{пули}}{m_{ружья}}\) видно, что скорость отдачи обратно пропорциональна массе ружья и прямо пропорциональна массе пули и ее скорости. Следовательно, для уменьшения скорости отдачи можно:
- Увеличить массу ружья (\(m_{ружья}\)).
- Уменьшить массу пули (\(m_{пули}\)).
- Уменьшить скорость вылета пули (\(v_{пули}\)).
На практике для уменьшения отдачи используют различные приспособления, такие как дульные тормоза-компенсаторы, амортизирующие приклады, а также более тяжелые конструкции оружия.
Ответ: Скорость отдачи ружья при стрельбе составит 1.75 м/с. Скорость отдачи можно уменьшить, увеличив массу ружья, уменьшив