Расчетная работа № 7
Тема: Расчет площади фигуры
Курс 2, Семестр I
Задача: Окно представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из прямоугольной нижней части и параболической верхней. Размеры окна обозначены на рисунке и представлены в таблице. Найти площадь окна с точностью \(\pm 1\) см2. Результаты расчетов представить в виде таблицы.
Вариант № 27:
- Высота прямоугольной части \(H = 1.5\) м
- Высота параболической части \(h = 0.6\) м
- Ширина окна \(L = 0.45\) м
Решение:
Окно состоит из двух частей: прямоугольной и параболической.
1. Расчет площади прямоугольной части:
Площадь прямоугольника \(S_{прям}\) вычисляется по формуле: \(S_{прям} = H \cdot L\).
Подставляем значения для варианта № 27:
\(S_{прям} = 1.5 \text{ м} \cdot 0.45 \text{ м}\)
\(S_{прям} = 0.675 \text{ м}^2\)
2. Определение уравнения параболы:
Верхняя часть окна имеет форму параболы. Мы можем расположить систему координат так, чтобы вершина параболы находилась на оси \(y\), а основание параболы совпадало с верхней стороной прямоугольника. В этом случае уравнение параболы будет иметь вид \(y = ax^2 + h\), где \(h\) - высота параболической части, а \(a\) - коэффициент.
Однако, удобнее расположить вершину параболы в точке \((0, h)\) и основание параболы на оси \(x\) от \(-L/2\) до \(L/2\). Тогда уравнение параболы будет иметь вид \(y = ax^2 + c\).
Если вершина параболы находится в точке \((0, h)\) и она направлена вниз, то уравнение параболы можно записать как \(y = -ax^2 + h\), где \(a > 0\).
Парабола проходит через точки \((-L/2, 0)\) и \((L/2, 0)\).
Подставим одну из этих точек, например \((L/2, 0)\), в уравнение параболы:
\(0 = -a \left(\frac{L}{2}\right)^2 + h\)
\(0 = -a \frac{L^2}{4} + h\)
Отсюда выразим \(a\):
\(a \frac{L^2}{4} = h\)
\(a = \frac{4h}{L^2}\)
Таким образом, уравнение параболы, описывающей верхнюю часть окна, будет:
\(y = -\frac{4h}{L^2} x^2 + h\)
Подставим значения \(h = 0.6\) м и \(L = 0.45\) м:
\(y = -\frac{4 \cdot 0.6}{(0.45)^2} x^2 + 0.6\)
\(y = -\frac{2.4}{0.2025} x^2 + 0.6\)
\(y = -11.85185... x^2 + 0.6\)
Округлим коэффициент для удобства записи:
\(y \approx -11.85 x^2 + 0.6\)
3. Расчет площади параболической части:
Площадь под параболой вычисляется с помощью определенного интеграла. Интегрируем уравнение параболы от \(-L/2\) до \(L/2\).
\(S_{параб} = \int_{-L/2}^{L/2} \left(-\frac{4h}{L^2} x^2 + h\right) dx\)
Поскольку функция четная, можно интегрировать от \(0\) до \(L/2\) и умножить на 2:
\(S_{параб} = 2 \int_{0}^{L/2} \left(-\frac{4h}{L^2} x^2 + h\right) dx\)
\(S_{параб} = 2 \left[ -\frac{4h}{L^2} \frac{x^3}{3} + hx \right]_{0}^{L/2}\)
\(S_{параб} = 2 \left( -\frac{4h}{L^2} \frac{(L/2)^3}{3} + h \frac{L}{2} - (0) \right)\)
\(S_{параб} = 2 \left( -\frac{4h}{L^2} \frac{L^3}{24} + \frac{hL}{2} \right)\)
\(S_{параб} = 2 \left( -\frac{4hL}{24} + \frac{hL}{2} \right)\)
\(S_{параб} = 2 \left( -\frac{hL}{6} + \frac{hL}{2} \right)\)
\(S_{параб} = 2 \left( -\frac{hL}{6} + \frac{3hL}{6} \right)\)
\(S_{параб} = 2 \left( \frac{2hL}{6} \right)\)
\(S_{параб} = 2 \left( \frac{hL}{3} \right)\)
\(S_{параб} = \frac{2}{3} hL\)
Это известная формула для площади сегмента параболы. Теперь подставим значения для варианта № 27:
\(S_{параб} = \frac{2}{3} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.45 \text{ м}\)
\(S_{параб} = 0.4 \text{ м} \cdot 0.45 \text{ м}\)
\(S_{параб} = 0.18 \text{ м}^2\)
4. Расчет полной площади окна:
Полная площадь окна \(S_{общ}\) равна сумме площадей прямоугольной и параболической частей:
\(S_{общ} = S_{прям} + S_{параб}\)
\(S_{общ} = 0.675 \text{ м}^2 + 0.18 \text{ м}^2\)
\(S_{общ} = 0.855 \text{ м}^2\)
5. Перевод в см2 и округление:
Нам нужно найти площадь с точностью \(\pm 1\) см2.
\(1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2\)
\(S_{общ} = 0.855 \text{ м}^2 \cdot 10000 \text{ см}^2/\text{м}^2 = 8550 \text{ см}^2\)
Площадь параболической части в см2:
\(S_{параб} = 0.18 \text{ м}^2 \cdot 10000 \text{ см}^2/\text{м}^2 = 1800 \text{ см}^2\)
Результаты расчетов:
| № варианта | H, м | h, м | L, м | Уравнение параболы | Площадь арочной части, м2 (см2) | Полная площадь, м2 (см2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 27 | 1.5 | 0.6 | 0.45 | \(y = -11.85 x^2 + 0.6\) | 0.18 (1800) | 0.855 (8550) |
Ответ:
- Уравнение параболы: \(y = -11.85 x^2 + 0.6\)
- Площадь арочной части: \(0.18 \text{ м}^2\) или \(1800 \text{ см}^2\)
- Полная площадь окна: \(0.855 \text{ м}^2\) или \(8550 \text{ см}^2\)