Решение задачи: Площадь многоугольника на клетчатой бумаге

Для решения задачи по нахождению площади многоугольника \(ABCDEFGH\) на клетчатой бумаге удобнее всего воспользоваться методом разбиения фигуры на простые геометрические фигуры (прямоугольники и прямоугольные треугольники) или методом дополнения до прямоугольника. Воспользуемся методом дополнения до большого прямоугольника и вычитания лишних площадей. 1. Опишем вокруг фигуры прямоугольник. Его вершины будут иметь координаты (если принять точку \(A\) за начало координат \((0;0)\)): Левая нижняя точка — \(A(0;0)\). Правая нижняя точка — \(H(9;0)\). Верхняя точка — \(F(6;11)\). Таким образом, достроим фигуру до прямоугольника со сторонами \(9\) и \(11\) клеток. Площадь этого прямоугольника: \[S_{rect} = 9 \cdot 11 = 99\] 2. Теперь найдем площади прямоугольных треугольников и фигур, которые не входят в наш многоугольник \(ABCDEFGH\), но вошли в прямоугольник: - Треугольник над \(CD\): катеты \(3\) и \(1\). Площадь: \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5\). - Треугольник слева от \(DE\): катеты \(3\) и \(4\). Площадь: \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\). - Треугольник слева от \(BC\): катеты \(1\) и \(4\). Площадь: \(S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2\). - Треугольник слева от \(AB\): катеты \(1\) и \(3\). Площадь: \(S_4 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1,5\). - Треугольник над \(EF\): катеты \(3\) и \(4\). Площадь: \(S_5 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\). - Треугольник справа от \(FG\): катеты \(3\) и \(3\). Площадь: \(S_6 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5\). - Прямоугольник под \(GH\): отсутствует, так как \(GH\) — вертикальная линия длиной \(8\) клеток. - Треугольник под \(AN\): катеты \(6\) и \(4\). Площадь: \(S_7 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\). - Прямоугольник под \(NK\): катеты \(4\) и \(3\). Площадь: \(S_8 = 4 \cdot 3 = 12\). 3. Однако, проще и точнее будет разбить фигуру на части внутри. Разобьем многоугольник на трапеции и прямоугольники по вертикальным линиям сетки: - Левая часть (от \(x=0\) до \(x=1\)): трапеция с основаниями \(3\) и \(7\). Площадь: \(\frac{3+7}{2} \cdot 1 = 5\). - Вторая часть (от \(x=1\) до \(x=3\)): трапеция с основаниями \(7\) и \(8\). Площадь: \(\frac{7+8}{2} \cdot 2 = 15\). - Третья часть (от \(x=3\) до \(x=6\)): трапеция с основаниями \(8\) и \(11\). Площадь: \(\frac{8+11}{2} \cdot 3 = 28,5\). - Четвертая часть (от \(x=6\) до \(x=9\)): трапеция с основаниями \(11\) и \(8\). Площадь: \(\frac{11+8}{2} \cdot 3 = 28,5\). Суммируем полученные площади: \[S = 5 + 15 + 28,5 + 28,5 = 77\] Ответ: Площадь фигуры \(ABCDEFGH\) равна \(77\) квадратным единицам.