Хорошо, давайте решим задачи для варианта №3, используя предоставленные методические указания.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10
ТЕМА: Расчет параметров магнитных цепей.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
научиться определять ЭДС, индуктируемой в обмотке, взаимную индукцию, магнитный поток.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционная карта, микрокалькулятор.
ЛИТЕРАТУРА:
О. А. Теплякова Электротехника и электроника. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – Издательство «Ин-Фолио», Волгоград, 2008 - гл. 4, стр. 63-100.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к задаче 1
1. Длина средней магнитной линии: \(l_{ср} = \pi \cdot D_{ср}\)
где \(D_{ср} = (D + d)/2\)
2. Магнитный поток: \(\Phi = \frac{\mu_0 I N S}{l}\),
где \(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м, \(S = \pi \cdot D_{ср}^2 / 4\)
3. Потокосцепление катушки: \(\Delta \Psi = \Phi \cdot N\)
4. Индуцированная ЭДС: \(e = -\Delta \Psi / \Delta t\)
к задаче 2
1. \(L_1 = \mu_0 N_1^2 S / l\)
2. \(L_2 = \mu_0 N_2^2 S / l\)
3. \(e = -L \frac{d_i}{d_t}\) (Здесь, вероятно, опечатка в методичке, должно быть \(e = -M \frac{di}{dt}\) для взаимной индукции, или \(e = -L \frac{di}{dt}\) для самоиндукции. Исходя из контекста задачи 2, где спрашивается про ЭДС, индуктируемую в обмотке с большим числом витков, если ток изменяется в другой обмотке, это задача на взаимную индукцию. Поэтому будем использовать формулу \(e = -M \frac{di}{dt}\), где \(M\) - взаимная индуктивность. Взаимная индуктивность для двух обмоток на одном сердечнике может быть найдена как \(M = k \sqrt{L_1 L_2}\), где \(k\) - коэффициент связи, или, если пренебречь магнитным рассеянием, как \(M = \mu_0 \frac{N_1 N_2 S}{l}\). Будем использовать последнюю формулу, так как она соответствует структуре \(L_1\) и \(L_2\) и условию "пренебрегая магнитным рассеянием".)
---
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Задача 1.
Кольцевая катушка средним диаметром \(D\) имеет в поперечном сечении круг диаметром \(d\). В обмотке с числом витков \(N\) проходит постоянный ток \(I\). Каково значение ЭДС, индуктируемой в обмотке, если ток прекращается за время \(t\)?
Данные для варианта №3:
\(D = 0,35\) м
\(d = 0,05\) м
\(N = 450\)
\(I = 5\) А
\(t = 2\) мкс
Решение задачи 1:
1. Найдем средний диаметр \(D_{ср}\):
\(D_{ср} = (D + d)/2 = (0,35 \text{ м} + 0,05 \text{ м})/2 = 0,40 \text{ м}/2 = 0,20 \text{ м}\)
2. Найдем длину средней магнитной линии \(l_{ср}\):
\(l_{ср} = \pi \cdot D_{ср} = \pi \cdot 0,20 \text{ м} \approx 0,6283 \text{ м}\)
3. Найдем площадь поперечного сечения \(S\). Поперечное сечение - круг диаметром \(d\).
\(S = \pi \cdot d^2 / 4 = \pi \cdot (0,05 \text{ м})^2 / 4 = \pi \cdot 0,0025 \text{ м}^2 / 4 \approx 0,001963 \text{ м}^2\)
4. Найдем магнитный поток \(\Phi\). Используем формулу \(\Phi = \frac{\mu_0 I N S}{l}\). В данном случае \(l\) - это \(l_{ср}\).
\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м
\(\Phi = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 5 \text{ А} \cdot 450 \cdot 0,001963 \text{ м}^2}{0,6283 \text{ м}}\)
\(\Phi = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 5 \cdot 450 \cdot 0,001963}{0,6283} \text{ Вб}\)
\(\Phi \approx \frac{1,109 \cdot 10^{-5}}{0,6283} \text{ Вб} \approx 1,765 \cdot 10^{-5} \text{ Вб}\)
5. Найдем потокосцепление катушки \(\Delta \Psi\):
\(\Delta \Psi = \Phi \cdot N = 1,765 \cdot 10^{-5} \text{ Вб} \cdot 450 \approx 0,0079425 \text{ Вб}\)
6. Найдем индуцированную ЭДС \(e\). Ток прекращается, то есть изменяется от \(I\) до \(0\). Изменение тока \(\Delta I = 0 - I = -I\). Изменение потокосцепления \(\Delta \Psi\) происходит за время \(\Delta t = t\).
\(e = -\Delta \Psi / \Delta t\)
\(\Delta t = 2 \text{ мкс} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}\)
\(e = - (0 - 0,0079425 \text{ Вб}) / (2 \cdot 10^{-6} \text{ с})\) (Здесь \(\Delta \Psi\) - это изменение потокосцепления, которое было, когда ток был \(I\), до нуля, когда ток стал \(0\). Поэтому \(\Delta \Psi = \Psi_{конечное} - \Psi_{начальное} = 0 - \Phi \cdot N\). Знак минус в формуле Фарадея учитывает направление ЭДС.)
\(e = - (-0,0079425 \text{ Вб}) / (2 \cdot 10^{-6} \text{ с})\)
\(e = 0,0079425 / (2 \cdot 10^{-6}) \text{ В}\)
\(e = 3971,25 \text{ В}\)
Ответ к задаче 1:
Индуцированная ЭДС \(e \approx 3971,25\) В.
---
Задача 2.
Неферромагнитный сердечник кольцевой катушки имеет круглое поперечное сечение \(S\) и длину средней магнитной линии \(l\). На сердечнике имеются две обмотки с числами витков соответственно \(N_1\) и \(N_2\). Пренебрегая магнитным рассеянием, определить взаимную индуктивность обмоток. Какая ЭДС индуктируется в обмотке с большим числом витков, если ток в другой обмотке изменяется со скоростью \(di_1/dt\)?
Данные для варианта №3:
\(S = 6\) см\(^2\)
\(l = 40\) см
\(N_1 = 500\)
\(N_2 = 1000\)
\(di_1/dt = 500\) А/с
Решение задачи 2:
1. Переведем единицы измерения в СИ:
\(S = 6 \text{ см}^2 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\)
\(l = 40 \text{ см} = 0,40 \text{ м}\)
2. Определим взаимную индуктивность \(M\). Для неферромагнитного сердечника и пренебрегая магнитным рассеянием, взаимная индуктивность \(M\) может быть найдена по формуле, аналогичной индуктивности, но с произведением чисел витков:
\(M = \mu_0 \frac{N_1 N_2 S}{l}\)
\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м
\(M = 4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot \frac{500 \cdot 1000 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{0,40 \text{ м}}\)
\(M = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{300000 \cdot 6 \cdot 10^{-4}}{0,40} \text{ Гн}\)
\(M = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{180}{0,40} \text{ Гн}\)
\(M = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 450 \text{ Гн}\)
\(M \approx 5,655 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}\)
3. Определим, какая ЭДС индуктируется в обмотке с большим числом витков. Большее число витков у обмотки \(N_2 = 1000\). Ток изменяется в другой обмотке, то есть в обмотке \(N_1\).
Используем формулу для взаимно индуцированной ЭДС: \(e = -M \frac{di_1}{dt}\)
\(e = -5,655 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} \cdot 500 \text{ А/с}\)
\(e = -0,28275 \text{ В}\)
Ответ к задаче 2:
Взаимная индуктивность обмоток \(M \approx 5,655 \cdot 10^{-4}\) Гн.
ЭДС, индуктируемая в обмотке с большим числом витков, \(e \approx -0,28275\) В. (Знак минус указывает на направление ЭДС согласно правилу Ленца).
