Решение задачи: y = 2x² + ln x² (Область определения и производная)

Для данной функции \( y = 2x^2 + \ln x^2 \) обычно требуется найти область определения и производную. Ниже представлено решение, оформленное для тетради. 1. Область определения функции (ООФ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. \[ x^2 > 0 \] Это условие выполняется для всех \( x \), кроме нуля. Ответ: \( D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). 2. Нахождение производной: Для решения воспользуемся правилами дифференцирования суммы, степенной функции и сложной функции (логарифма). \[ y' = (2x^2 + \ln x^2)' \] \[ y' = (2x^2)' + (\ln x^2)' \] Вычисляем каждое слагаемое: \[ (2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x \] Для логарифма используем формулу производной сложной функции \( (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' \): \[ (\ln x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x} \] Собираем производную целиком: \[ y' = 4x + \frac{2}{x} \] 3. Нахождение критических точек: Приравняем производную к нулю: \[ 4x + \frac{2}{x} = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4x^2 + 2}{x} = 0 \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: \[ 4x^2 + 2 = 0 \] \[ 4x^2 = -2 \] \[ x^2 = -0,5 \] Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что функция не имеет точек экстремума (максимумов или минимумов) и на всей области определения ведет себя монотонно на промежутках. Ответ: \( y' = 4x + \frac{2}{x} \).