Решение задачи по физике: расчет токов и напряжения в цепи с ЭДС и резисторами

Дано: \[ \mathcal{E}_1 = 6 \text{ В} \] \[ \mathcal{E}_2 = 5 \text{ В} \] \[ \mathcal{E}_3 = 8 \text{ В} \] \[ R_1 = 2 \text{ Ом} \] \[ R_2 = 1 \text{ Ом} \] \[ R_3 = 1 \text{ Ом} \] \[ R = 1 \text{ Ом} \text{ (резистор в общей цепи)} \] Найти: \[ I_1, I_2, I_3, I_{общ}, U \] Решение: Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Пусть потенциал нижнего узла (общего провода) равен \( \phi_0 = 0 \text{ В} \). Обозначим потенциал верхнего узла, где сходятся три ветви, как \( \phi_1 \). Токи в ветвях направлены от источников к узлу \( \phi_1 \). Согласно закону Ома для участка цепи с ЭДС: \[ I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - \phi_1}{R_1} \] \[ I_2 = \frac{\mathcal{E}_2 - \phi_1}{R_2} \] \[ I_3 = \frac{\mathcal{E}_3 - \phi_1}{R_3} \] Суммарный ток \( I_{общ} \) проходит через резистор \( R \). По закону Ома для этого участка: \[ I_{общ} = \frac{\phi_1}{R} \] По первому закону Кирхгофа для узла \( \phi_1 \): \[ I_1 + I_2 + I_3 = I_{общ} \] Подставим выражения для токов: \[ \frac{6 - \phi_1}{2} + \frac{5 - \phi_1}{1} + \frac{8 - \phi_1}{1} = \frac{\phi_1}{1} \] Приведем к общему знаменателю 2: \[ 6 - \phi_1 + 2(5 - \phi_1) + 2(8 - \phi_1) = 2\phi_1 \] \[ 6 - \phi_1 + 10 - 2\phi_1 + 16 - 2\phi_1 = 2\phi_1 \] \[ 32 - 5\phi_1 = 2\phi_1 \] \[ 7\phi_1 = 32 \] \[ \phi_1 = \frac{32}{7} \approx 4,57 \text{ В} \] Теперь найдем токи: \[ I_1 = \frac{6 - 4,57}{2} = \frac{1,43}{2} \approx 0,715 \text{ А} \] \[ I_2 = \frac{5 - 4,57}{1} = 0,43 \text{ А} \] \[ I_3 = \frac{8 - 4,57}{1} = 3,43 \text{ А} \] Общий ток: \[ I_{общ} = I_1 + I_2 + I_3 = 0,715 + 0,43 + 3,43 = 4,575 \text{ А} \] (Или через потенциал: \( I_{общ} = \frac{\phi_1}{R} = \frac{4,57}{1} = 4,57 \text{ А} \)) Напряжение на вольтметре \( U \) соответствует падению напряжения на резисторе \( R \): \[ U = I_{общ} \cdot R = 4,57 \cdot 1 = 4,57 \text{ В} \] Ответ: \[ I_1 \approx 0,72 \text{ А} \] \[ I_2 \approx 0,43 \text{ А} \] \[ I_3 \approx 3,43 \text{ А} \] \[ I_{общ} \approx 4,57 \text{ А} \] \[ U \approx 4,57 \text{ В} \]