Решение задачи №1049: Найти углы треугольника

Задача №1049 Дано: Вершины треугольника: \(A(-1; \sqrt{3})\), \(B(1; -\sqrt{3})\), \(C(\frac{1}{2}; \sqrt{3})\). Найти: Углы треугольника \(\angle A, \angle B, \angle C\). Решение: 1. Найдем координаты векторов, образующих стороны треугольника: \[ \vec{AB} = (1 - (-1); -\sqrt{3} - \sqrt{3}) = (2; -2\sqrt{3}) \] \[ \vec{AC} = (\frac{1}{2} - (-1); \sqrt{3} - \sqrt{3}) = (1,5; 0) \] \[ \vec{BC} = (\frac{1}{2} - 1; \sqrt{3} - (-\sqrt{3})) = (-0,5; 2\sqrt{3}) \] 2. Вычислим длины сторон треугольника (модули векторов): \[ AB = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \] \[ AC = \sqrt{1,5^2 + 0^2} = 1,5 \] \[ BC = \sqrt{(-0,5)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{0,25 + 12} = \sqrt{12,25} = 3,5 \] 3. Найдем косинус угла А, используя скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{2 \cdot 1,5 + (-2\sqrt{3}) \cdot 0}{4 \cdot 1,5} = \frac{3}{6} = 0,5 \] Следовательно, \(\angle A = 60^\circ\). 4. Найдем косинус угла С, используя теорему косинусов для стороны AB: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \] \[ 4^2 = 1,5^2 + 3,5^2 - 2 \cdot 1,5 \cdot 3,5 \cdot \cos C \] \[ 16 = 2,25 + 12,25 - 10,5 \cdot \cos C \] \[ 16 = 14,5 - 10,5 \cdot \cos C \] \[ 10,5 \cdot \cos C = 14,5 - 16 \] \[ 10,5 \cdot \cos C = -1,5 \] \[ \cos C = -\frac{1,5}{10,5} = -\frac{1}{7} \] \[ \angle C = \arccos(-\frac{1}{7}) \approx 98^\circ 13' \] 5. Найдем угол B: \[ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) \] \[ \angle B = 180^\circ - (60^\circ + \arccos(-\frac{1}{7})) = 120^\circ - \arccos(-\frac{1}{7}) \approx 21^\circ 47' \] Ответ: \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 120^\circ - \arccos(-\frac{1}{7})\), \(\angle C = \arccos(-\frac{1}{7})\).