Решение задачи по физике: расчет токов в сложной цепи

Дано: \( \mathcal{E}_1 = 6 \, \text{В} \) \( \mathcal{E}_2 = 5 \, \text{В} \) \( \mathcal{E}_3 = 8 \, \text{В} \) \( R_1 = 2 \, \text{Ом} \) \( R_2 = 1 \, \text{Ом} \) \( R_3 = 1 \, \text{Ом} \) \( R = 1 \, \text{Ом} \) (сопротивление в общей ветви) Найти: \( I_1, I_2, I_3, I \) Решение: Для решения данной задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Пусть потенциал нижнего узла (после резистора \( R \)) равен \( \phi_0 = 0 \). Тогда потенциал узла над резистором \( R \) обозначим как \( \phi_A \). Ток в общей ветви \( I \) по закону Ома равен: \[ I = \frac{\phi_A}{R} \] Согласно первому закону Кирхгофа для верхнего узла: \[ I_1 + I_2 + I_3 = I \] Выразим токи в ветвях через разность потенциалов. Обратите внимание на полярность источников ЭДС на схеме (длинная черта — плюс, короткая — минус): \[ I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - \phi_A}{R_1} \] \[ I_2 = \frac{\mathcal{E}_2 - \phi_A}{R_2} \] \[ I_3 = \frac{\mathcal{E}_3 - \phi_A}{R_3} \] Подставим эти выражения в уравнение токов: \[ \frac{\mathcal{E}_1 - \phi_A}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - \phi_A}{R_2} + \frac{\mathcal{E}_3 - \phi_A}{R_3} = \frac{\phi_A}{R} \] Подставим численные значения: \[ \frac{6 - \phi_A}{2} + \frac{5 - \phi_A}{1} + \frac{8 - \phi_A}{1} = \frac{\phi_A}{1} \] Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю: \[ 3 - 0,5\phi_A + 5 - \phi_A + 8 - \phi_A = \phi_A \] \[ 16 - 2,5\phi_A = \phi_A \] \[ 16 = 3,5\phi_A \] \[ \phi_A = \frac{16}{3,5} = \frac{32}{7} \approx 4,57 \, \text{В} \] Теперь найдем токи: \[ I = \frac{\phi_A}{R} = \frac{32/7}{1} = \frac{32}{7} \approx 4,57 \, \text{А} \] \[ I_1 = \frac{6 - 32/7}{2} = \frac{(42 - 32)/7}{2} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0,71 \, \text{А} \] \[ I_2 = \frac{5 - 32/7}{1} = \frac{35 - 32}{7} = \frac{3}{7} \approx 0,43 \, \text{А} \] \[ I_3 = \frac{8 - 32/7}{1} = \frac{56 - 32}{7} = \frac{24}{7} \approx 3,43 \, \text{А} \] Проверка по первому закону Кирхгофа: \[ I_1 + I_2 + I_3 = \frac{5}{7} + \frac{3}{7} + \frac{24}{7} = \frac{32}{7} = I \] Условие выполняется. Ответ: \( I_1 \approx 0,71 \, \text{А} \) \( I_2 \approx 0,43 \, \text{А} \) \( I_3 \approx 3,43 \, \text{А} \) \( I \approx 4,57 \, \text{А} \)