Решение квадратных уравнений: примеры с подробным объяснением

Ниже представлено решение всех уравнений из таблицы в виде, удобном для переписывания в тетрадь. №1 \[ 10x^2 + 10x + 8 = 7x^2 \] \[ 10x^2 - 7x^2 + 10x + 8 = 0 \] \[ 3x^2 + 10x + 8 = 0 \] \[ D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \] \[ x_1 = \frac{-10 + 2}{6} = \frac{-8}{6} = -1\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-10 - 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \] Ответ: \( -2; -1\frac{1}{3} \) №2 \[ 2x^2 - 8(x - 2) = 2x \] \[ 2x^2 - 8x + 16 - 2x = 0 \] \[ 2x^2 - 10x + 16 = 0 \quad | : 2 \] \[ x^2 - 5x + 8 = 0 \] \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7 \] Так как \( D < 0 \), корней нет. Ответ: корней нет. №3 \[ 3x^2 - 3(6x - 2) - 4 = -10(7 - 2x) - 8 \] \[ 3x^2 - 18x + 6 - 4 = -70 + 20x - 8 \] \[ 3x^2 - 18x + 2 = 20x - 78 \] \[ 3x^2 - 38x + 80 = 0 \] \[ D = (-38)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1444 - 960 = 484 = 22^2 \] \[ x_1 = \frac{38 + 22}{6} = \frac{60}{6} = 10 \] \[ x_2 = \frac{38 - 22}{6} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3} \] Ответ: \( 2\frac{2}{3}; 10 \) №4 \[ 3 + 8x(3 - 2x) - 6x^2 = 7(9x + 2) + 3 \] \[ 3 + 24x - 16x^2 - 6x^2 = 63x + 14 + 3 \] \[ -22x^2 + 24x + 3 = 63x + 17 \] \[ -22x^2 - 39x - 14 = 0 \quad | \cdot (-1) \] \[ 22x^2 + 39x + 14 = 0 \] \[ D = 39^2 - 4 \cdot 22 \cdot 14 = 1521 - 1232 = 289 = 17^2 \] \[ x_1 = \frac{-39 + 17}{44} = \frac{-22}{44} = -0,5 \] \[ x_2 = \frac{-39 - 17}{44} = \frac{-56}{44} = -1\frac{3}{11} \] Ответ: \( -1\frac{3}{11}; -0,5 \) №5 \[ 9x^2 - 2(2x - 8) = 10 + 2(8x + 3) \] \[ 9x^2 - 4x + 16 = 10 + 16x + 6 \] \[ 9x^2 - 4x + 16 = 16x + 16 \] \[ 9x^2 - 20x = 0 \] \[ x(9x - 20) = 0 \] \[ x_1 = 0 \text{ или } 9x = 20 \Rightarrow x_2 = 2\frac{2}{9} \] Ответ: \( 0; 2\frac{2}{9} \) №6 \[ 3x^2 - 3(9x - 5x^2) + 9 = 0 \] \[ 3x^2 - 27x + 15x^2 + 9 = 0 \] \[ 18x^2 - 27x + 9 = 0 \quad | : 9 \] \[ 2x^2 - 3x + 1 = 0 \] \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] \[ x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{3 - 1}{4} = 0,5 \] Ответ: \( 0,5; 1 \) №7 \[ 2x(6 - 3x) + 10x^2 - 4(7x - 3) = 0 \] \[ 12x - 6x^2 + 10x^2 - 28x + 12 = 0 \] \[ 4x^2 - 16x + 12 = 0 \quad | : 4 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 1, x_2 = 3 \] Ответ: \( 1; 3 \) №8 \[ -2(x^2 - 3x) = 10 - 6x^2 \] \[ -2x^2 + 6x = 10 - 6x^2 \] \[ 4x^2 + 6x - 10 = 0 \quad | : 2 \] \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \] \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \] \[ x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -2,5 \] Ответ: \( -2,5; 1 \) №9 \[ 5x^2 - 10(2x - 5) = 7 + 2(5x + 9) \] \[ 5x^2 - 20x + 50 = 7 + 10x + 18 \] \[ 5x^2 - 30x + 25 = 0 \quad | : 5 \] \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 1, x_2 = 5 \] Ответ: \( 1; 5 \) №10 \[ 6x^2 - 8(4x - 3x^2) + 8 = 0 \] \[ 6x^2 - 32x + 24x^2 + 8 = 0 \] \[ 30x^2 - 32x + 8 = 0 \quad | : 2 \] \[ 15x^2 - 16x + 4 = 0 \] \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 4 = 256 - 240 = 16 \] \[ x_1 = \frac{16 + 4}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{16 - 4}{30} = \frac{12}{30} = 0,4 \] Ответ: \( 0,4; \frac{2}{3} \) №11 \[ 7x^2 + x + 6 = 4x^2 \] \[ 3x^2 + x + 6 = 0 \] \[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 1 - 72 = -71 \] Так как \( D < 0 \), корней нет. Ответ: корней нет. №12 \[ 4x^2 - 4(2x - 2) - 5 = 9(-3 + 2x) \] \[ 4x^2 - 8x + 8 - 5 = -27 + 18x \] \[ 4x^2 - 8x + 3 = -27 + 18x \] \[ 4x^2 - 26x + 30 = 0 \quad | : 2 \] \[ 2x^2 - 13x + 15 = 0 \] \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49 \] \[ x_1 = \frac{13 + 7}{4} = 5 \] \[ x_2 = \frac{13 - 7}{4} = 1,5 \] Ответ: \( 1,5; 5 \)