Дано:
Точки с координатами: A(12; -4), B(-8; -6), C(0; 9).
Найти:
а) координаты вектора BC;
б) длину вектора AB;
в) координаты середины отрезка AC;
г) периметр треугольника ABC;
д) длину медианы BM.
Решение:
а) Координаты вектора BC
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.
Вектор BC имеет начало в точке B(-8; -6) и конец в точке C(0; 9).
Координаты вектора BC: \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) \)
\( \vec{BC} = (0 - (-8); 9 - (-6)) \)
\( \vec{BC} = (0 + 8; 9 + 6) \)
\( \vec{BC} = (8; 15) \)
Ответ: \( \vec{BC} = (8; 15) \)
б) Длина вектора AB
Длина вектора (или расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Для вектора AB, точки A(12; -4) и B(-8; -6).
\( AB = \sqrt{(-8 - 12)^2 + (-6 - (-4))^2} \)
\( AB = \sqrt{(-20)^2 + (-6 + 4)^2} \)
\( AB = \sqrt{(-20)^2 + (-2)^2} \)
\( AB = \sqrt{400 + 4} \)
\( AB = \sqrt{404} \)
Можно упростить: \( \sqrt{404} = \sqrt{4 \cdot 101} = 2\sqrt{101} \)
Ответ: Длина вектора AB равна \( \sqrt{404} \) или \( 2\sqrt{101} \)
в) Координаты середины отрезка AC
Координаты середины отрезка M(x_M; y_M) вычисляются по формулам:
\( x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \)
\( y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \)
Для отрезка AC, точки A(12; -4) и C(0; 9).
\( x_M = \frac{12 + 0}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
\( y_M = \frac{-4 + 9}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \)
Ответ: Координаты середины отрезка AC: M(6; 2.5)
г) Периметр треугольника ABC
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \( P = AB + BC + AC \)
Мы уже нашли \( AB = \sqrt{404} \).
Найдем длину BC. Мы знаем координаты вектора BC: (8; 15).
\( BC = \sqrt{8^2 + 15^2} \)
\( BC = \sqrt{64 + 225} \)
\( BC = \sqrt{289} \)
\( BC = 17 \)
Найдем длину AC. Точки A(12; -4) и C(0; 9).
\( AC = \sqrt{(0 - 12)^2 + (9 - (-4))^2} \)
\( AC = \sqrt{(-12)^2 + (9 + 4)^2} \)
\( AC = \sqrt{(-12)^2 + 13^2} \)
\( AC = \sqrt{144 + 169} \)
\( AC = \sqrt{313} \)
Теперь найдем периметр:
\( P = AB + BC + AC = \sqrt{404} + 17 + \sqrt{313} \)
Если требуется приближенное значение:
\( \sqrt{404} \approx 20.09975 \)
\( \sqrt{313} \approx 17.6918 \)
\( P \approx 20.10 + 17 + 17.69 = 54.79 \)
Ответ: Периметр треугольника ABC равен \( \sqrt{404} + 17 + \sqrt{313} \). Приближенно \( P \approx 54.79 \)
д) Длина медианы BM
Медиана BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC. Мы уже нашли координаты середины отрезка AC, это точка M(6; 2.5).
Теперь найдем расстояние между точками B(-8; -6) и M(6; 2.5).
\( BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} \)
\( BM = \sqrt{(6 - (-8))^2 + (2.5 - (-6))^2} \)
\( BM = \sqrt{(6 + 8)^2 + (2.5 + 6)^2} \)
\( BM = \sqrt{14^2 + 8.5^2} \)
\( BM = \sqrt{196 + 72.25} \)
\( BM = \sqrt{268.25} \)
Ответ: Длина медианы BM равна \( \sqrt{268.25} \)