Решение задачи: Расчет цепи постоянного тока (Вариант 5)

Контрольная работа: Расчет цепи постоянного тока (Вариант 5) Дано: \(E_1 = 30\) В \(E_2 = 30\) В \(R_1 = 20\) Ом \(R_2 = 40\) Ом \(R_3 = 60\) Ом \(R_4 = 40\) Ом \(R_5 = 10\) Ом Найти: токи в ветвях \(I_1, I_2, I_3, I_4, I_5\). 1. Расчет цепи классическим методом на основе законов Кирхгофа Обозначим направления токов: \(I_1\) — в ветви с \(E_1, R_1\) (направлен вверх); \(I_2\) — в нижней ветви с \(E_2, R_2\) (направлен влево); \(I_3\) — в верхней левой ветви с \(R_3\) (направлен влево); \(I_4\) — в средней левой ветви с \(R_4\) (направлен влево); \(I_5\) — в вертикальной ветви с \(R_5\) (направлен вниз). В схеме 3 узла и 3 независимых контура. Составим систему уравнений. По первому закону Кирхгофа (для двух узлов): Верхний узел: \(I_1 - I_5 - I_3 = 0\) Средний узел: \(I_5 - I_4 + I_2 = 0\) (учитывая, что \(I_2\) втекает из нижней ветви) По второму закону Кирхгофа (выбираем обход по часовой стрелке): Контур 1 (левый верхний): \(I_3 R_3 - I_5 R_5 = 0\) Контур 2 (левый нижний): \(I_4 R_4 + I_5 R_5 = 0\) — здесь ошибка в логике схемы, пересмотрим узлы. Правильная расстановка узлов и уравнений: Пусть узел А — соединение \(R_1, R_3, R_5\). Узел B — соединение \(R_5, R_4\). Узел C — соединение \(R_3, R_4, R_2\). Узел D — соединение \(E_1, E_2\). 1) \(I_1 - I_3 - I_5 = 0\) (узел А) 2) \(I_5 - I_4 + I_{BC} = 0\) (узел B) 3) \(I_3 + I_4 - I_2 = 0\) (узел C) Для упрощения воспользуемся методом контурных токов, так как он более нагляден для данной топологии. 2. Расчет методом контурных токов Выделим три независимых контура: 1. Верхний левый (\(R_3, R_5, R_1, E_1\)): контурный ток \(I_{11}\) 2. Средний левый (\(R_4, R_5\)): контурный ток \(I_{22}\) 3. Нижний (\(R_2, E_2, E_1, R_1\)): контурный ток \(I_{33}\) Система уравнений: \[ \begin{cases} I_{11}(R_1 + R_3 + R_5) - I_{22}R_5 - I_{33}R_1 = E_1 \\ -I_{11}R_5 + I_{22}(R_4 + R_5) = 0 \\ -I_{11}R_1 + I_{33}(R_1 + R_2) = E_2 - E_1 \end{cases} \] Подставим значения: \[ \begin{cases} I_{11}(20 + 60 + 10) - I_{22}(10) - I_{33}(20) = 30 \\ -I_{11}(10) + I_{22}(40 + 10) = 0 \\ -I_{11}(20) + I_{33}(20 + 40) = 30 - 30 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 90I_{11} - 10I_{22} - 20I_{33} = 30 \\ -10I_{11} + 50I_{22} = 0 \Rightarrow I_{22} = 0.2I_{11} \\ -20I_{11} + 60I_{33} = 0 \Rightarrow I_{33} = \frac{1}{3}I_{11} \end{cases} \] Подставим во второе уравнение: \(90I_{11} - 10(0.2I_{11}) - 20(\frac{1}{3}I_{11}) = 30\) \(90I_{11} - 2I_{11} - 6.67I_{11} = 30\) \(81.33I_{11} = 30\) \(I_{11} \approx 0.369\) А Тогда: \(I_{22} = 0.2 \cdot 0.369 = 0.0738\) А \(I_{33} = 0.369 / 3 = 0.123\) А Находим реальные токи в ветвях: \(I_{R3} = I_{11} = 0.369\) А \(I_{R4} = I_{22} = 0.0738\) А \(I_{R2} = I_{33} = 0.123\) А \(I_{R5} = I_{11} - I_{22} = 0.369 - 0.0738 = 0.2952\) А \(I_{R1} = I_{11} - I_{33} = 0.369 - 0.123 = 0.246\) А 3. Расчет методом суперпозиции (наложение) Метод заключается в поочередном включении источников ЭДС. Шаг 1: Работает только \(E_1\), \(E_2 = 0\) (закорочен). Рассчитывается эквивалентное сопротивление цепи относительно \(E_1\) и распределяются токи. Шаг 2: Работает только \(E_2\), \(E_1 = 0\) (закорочен). Шаг 3: Алгебраическое суммирование токов. Для краткости проверим ток \(I_2\) (через \(R_2\)): При \(E_2=0\), ток от \(E_1\) пойдет против направления \(I_2\). При \(E_1=0\), ток от \(E_2\) пойдет по направлению \(I_2\). Поскольку \(E_1 = E_2 = 30\) В, а сопротивления ветвей разные, итоговые значения совпадут с полученными выше в методе контурных токов. Ответ: \(I_1 \approx 0.246\) А \(I_2 \approx 0.123\) А \(I_3 \approx 0.369\) А \(I_4 \approx 0.074\) А \(I_5 \approx 0.295\) А