Решение задач на нахождение площади треугольника

Хорошо, давайте решим эти задачи по геометрии. 1. Найти площадь треугольника со стороной 5, если высота, проведенная к ней, равна 10. Решение: Площадь треугольника находится по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] где \(a\) - сторона треугольника, \(h\) - высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае: \(a = 5\) \(h = 10\) Подставляем значения в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 50\] \[S = 25\] Ответ: Площадь треугольника равна 25. 2. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 17 и 9 см. Решение: Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов. \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника. В нашем случае: \(a = 17\) см \(b = 9\) см Подставляем значения в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 9\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 153\] \[S = 76.5\] Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 76.5 см\(^2\). 3. Найти сторону треугольника, если его площадь равна 136 см\(^2\), а высота, проведенная к этой стороне, равна 16 см. Решение: Используем ту же формулу площади треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] Нам известны \(S\) и \(h\), нужно найти \(a\). Выразим \(a\) из формулы: \[2S = a \cdot h\] \[a = \frac{2S}{h}\] В нашем случае: \(S = 136\) см\(^2\) \(h = 16\) см Подставляем значения в формулу: \[a = \frac{2 \cdot 136}{16}\] \[a = \frac{272}{16}\] \[a = 17\] Ответ: Сторона треугольника равна 17 см. 4. В треугольнике сторона равна 12 см, а высота, проведенная к ней, равна 33 см. Другая сторона треугольника равна 48. Найдите высоту, проведенную к другой стороне. Решение: Сначала найдем площадь треугольника, используя первую пару сторона-высота. \[S = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1\] где \(a_1 = 12\) см, \(h_1 = 33\) см. \[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33\] \[S = 6 \cdot 33\] \[S = 198\] см\(^2\) Теперь, зная площадь и другую сторону \(a_2 = 48\) см, найдем высоту \(h_2\), проведенную к этой стороне. \[S = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot h_2\] Выразим \(h_2\): \[h_2 = \frac{2S}{a_2}\] Подставляем значения: \[h_2 = \frac{2 \cdot 198}{48}\] \[h_2 = \frac{396}{48}\] \[h_2 = 8.25\] Ответ: Высота, проведенная к другой стороне, равна 8.25 см. 5. В треугольнике HSK HK = SK = 80 см, HS = 96 см. Найдите площадь треугольника. Решение: Это равнобедренный треугольник, так как HK = SK. Для нахождения площади можно использовать формулу Герона или найти высоту. Проще найти высоту. Проведем высоту из вершины S к основанию HK. Пусть это будет высота SM. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, HM = MK = HK / 2. Но здесь HK и SK - равные стороны, а HS - основание. Давайте переобозначим: пусть равные стороны будут боковыми, а HS - основанием. Пусть HK = SK = \(b = 80\) см, HS = \(a = 96\) см. Проведем высоту из вершины K к основанию HS. Пусть это будет высота KL. Или проще: проведем высоту из вершины S к основанию HK. Нет, это не основание. Давайте проведем высоту из вершины H к стороне SK. Или из вершины S к стороне HK. Самый простой способ для равнобедренного треугольника - провести высоту к основанию. В данном случае основанием является сторона, которая не равна двум другим. То есть HS = 96 см. Проведем высоту из вершины K к основанию HS. Пусть точка пересечения будет M. В равнобедренном треугольнике KHS (где KH=KS), высота KM, проведенная к основанию HS, является также медианой. Значит, HM = MS = HS / 2. HM = 96 / 2 = 48 см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KHM. Гипотенуза KH = 80 см, катет HM = 48 см. Найдем высоту KM по теореме Пифагора: \[KM^2 + HM^2 = KH^2\] \[KM^2 + 48^2 = 80^2\] \[KM^2 + 2304 = 6400\] \[KM^2 = 6400 - 2304\] \[KM^2 = 4096\] \[KM = \sqrt{4096}\] \[KM = 64\] см Теперь, зная основание HS = 96 см и высоту KM = 64 см, найдем площадь треугольника HSK: \[S = \frac{1}{2} \cdot HS \cdot KM\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 64\] \[S = 48 \cdot 64\] \[S = 3072\] см\(^2\) Ответ: Площадь треугольника HSK равна 3072 см\(^2\). 6. В треугольнике XSA XA = SA = 40 см, AN - высота, равная 32 см. Найдите площадь треугольника. Решение: Это равнобедренный треугольник XSA, так как XA = SA = 40 см. AN - высота, проведенная к стороне XS. Нам известна высота AN = 32 см и боковая сторона XA = 40 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ANX. Гипотенуза XA = 40 см, катет AN = 32 см. Найдем катет XN по теореме Пифагора: \[AN^2 + XN^2 = XA^2\] \[32^2 + XN^2 = 40^2\] \[1024 + XN^2 = 1600\] \[XN^2 = 1600 - 1024\] \[XN^2 = 576\] \[XN = \sqrt{576}\] \[XN = 24\] см В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Но AN - это высота к стороне XS, а не к основанию. Основанием здесь является XS. Если AN - высота к стороне XS, то XS - это основание, к которому проведена высота. Но в равнобедренном треугольнике XSA, где XA = SA, основанием является XS. Высота, проведенная к основанию XS, должна быть из вершины A. В задаче сказано, что AN - высота. Это означает, что N лежит на стороне XS. Если AN - высота, то треугольник ANX - прямоугольный. Мы нашли XN = 24 см. Так как треугольник XSA равнобедренный с XA = SA, то высота AN, проведенная к основанию XS, является также медианой. Значит, XN = NS. Тогда XS = XN + NS = 24 + 24 = 48 см. Теперь у нас есть основание XS = 48 см и высота AN = 32 см. Найдем площадь треугольника XSA: \[S = \frac{1}{2} \cdot XS \cdot AN\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 32\] \[S = 24 \cdot 32\] \[S = 768\] см\(^2\) Ответ: Площадь треугольника XSA равна 768 см\(^2\). 7. В треугольнике PDX с прямым углом X отрезок XK является медианой. Найдите площадь треугольника, если DX = 80 см, XK = 41 см. Решение: Треугольник PDX - прямоугольный, угол X = 90 градусов. XK - медиана, проведенная к гипотенузе PD. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, \(XK = \frac{1}{2} PD\). Нам дано XK = 41 см. Тогда \(PD = 2 \cdot XK = 2 \cdot 41 = 82\) см. Теперь у нас есть гипотенуза PD = 82 см и один из катетов DX = 80 см. Найдем второй катет PX по теореме Пифагора: \[PX^2 + DX^2 = PD^2\] \[PX^2 + 80^2 = 82^2\] \[PX^2 + 6400 = 6724\] \[PX^2 = 6724 - 6400\] \[PX^2 = 324\] \[PX = \sqrt{324}\] \[PX = 18\] см Площадь прямоугольного треугольника PDX находится как половина произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot PX \cdot DX\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 80\] \[S = 9 \cdot 80\] \[S = 720\] см\(^2\) Ответ: Площадь треугольника PDX равна 720 см\(^2\).