Решение задач 5, 6 и 7

Ниже представлено решение задач 5, 6 и 7 в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 5 Дано: \(m = 0,25\) кг \(k = 100\) Н/м \(N = 10\) \(\pi \approx 3,14\) Найти: \(T - ?\) \(t - ?\) Решение: Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Подставим значения: \[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,25}{100}} = 6,28 \cdot \sqrt{0,0025} = 6,28 \cdot 0,05 = 0,314 \text{ с}\] Время, за которое совершается \(N\) колебаний, находится из формулы периода: \[T = \frac{t}{N} \Rightarrow t = T \cdot N\] \[t = 0,314 \cdot 10 = 3,14 \text{ с}\] Ответ: \(T = 0,314\) с; \(t = 3,14\) с. Задача 6 Дано: \(m = 9,86\) кг \(T = 2\) с \(\pi \approx 3,14\) Найти: \(k - ?\) \(\nu - ?\) Решение: Частота колебаний \(\nu\) связана с периодом \(T\) обратной зависимостью: \[\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ Гц}\] Для нахождения жесткости \(k\) воспользуемся формулой периода: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Возведем обе части в квадрат: \[T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}\] Отсюда выразим \(k\): \[k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}\] Подставим значения: \[k = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot 9,86}{2^2} = \frac{4 \cdot 9,8596 \cdot 9,86}{4} \approx 9,86 \cdot 9,86 \approx 97,2 \text{ Н/м}\] (Примечание: если принять \(\pi^2 \approx 9,86\), то \(k = 9,86^2 \approx 97,22\) Н/м). Ответ: \(k \approx 97,2\) Н/м; \(\nu = 0,5\) Гц. Задача 7 Дано: \(m_2 = 9m_1\) Найти: \(\frac{T_2}{T_1} - ?\) Решение: Запишем формулу периода для двух случаев: Для первого случая: \(T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}\) Для второго случая: \(T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{9m_1}{k}}\) Найдем отношение периодов: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{9m_1}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}} = \sqrt{\frac{9m_1}{k} \cdot \frac{k}{m_1}} = \sqrt{9} = 3\] Следовательно, период увеличится в 3 раза. Ответ: период увеличится в 3 раза.