Решение: Частные производные и полный дифференциал

Вот пошаговое решение задач. Задача 5. Найти частные производные и полный дифференциал первого и второго порядка функции \(u = xye^{\sin(2y)}\). Решение: Шаг 1. Находим частные производные первого порядка. Частная производная по \(x\): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xye^{\sin(2y)}) \] Здесь \(ye^{\sin(2y)}\) рассматривается как константа. \[ \frac{\partial u}{\partial x} = ye^{\sin(2y)} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x) = ye^{\sin(2y)} \cdot 1 = ye^{\sin(2y)} \] Частная производная по \(y\): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xye^{\sin(2y)}) \] Здесь \(x\) рассматривается как константа. Применяем правило произведения \((fg)' = f'g + fg'\), где \(f = y\) и \(g = e^{\sin(2y)}\). \[ \frac{\partial u}{\partial y} = x \left( \frac{\partial}{\partial y}(y) \cdot e^{\sin(2y)} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{\sin(2y)}) \right) \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1 \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(e^{\sin(2y)}) = e^{\sin(2y)} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\sin(2y)) \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(\sin(2y)) = \cos(2y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2y) = \cos(2y) \cdot 2 = 2\cos(2y) \] Подставляем обратно: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = x \left( 1 \cdot e^{\sin(2y)} + y \cdot e^{\sin(2y)} \cdot 2\cos(2y) \right) \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = xe^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \] Шаг 2. Находим полный дифференциал первого порядка. Полный дифференциал первого порядка \(du\) выражается формулой: \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy \] Подставляем найденные частные производные: \[ du = ye^{\sin(2y)} dx + xe^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) dy \] Шаг 3. Находим частные производные второго порядка. Вторая частная производная по \(x\): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (ye^{\sin(2y)}) \] Поскольку \(ye^{\sin(2y)}\) не зависит от \(x\), то: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \] Вторая частная производная по \(y\): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (xe^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y))) \] Здесь \(x\) - константа. Применяем правило произведения для \((e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)))\). Пусть \(f = e^{\sin(2y)}\) и \(g = 1 + 2y\cos(2y)\). \[ f' = \frac{\partial}{\partial y}(e^{\sin(2y)}) = e^{\sin(2y)} \cdot 2\cos(2y) \] \[ g' = \frac{\partial}{\partial y}(1 + 2y\cos(2y)) = \frac{\partial}{\partial y}(1) + \frac{\partial}{\partial y}(2y\cos(2y)) \] \[ g' = 0 + 2 \left( \frac{\partial}{\partial y}(y) \cdot \cos(2y) + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\cos(2y)) \right) \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1 \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(\cos(2y)) = -\sin(2y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2y) = -\sin(2y) \cdot 2 = -2\sin(2y) \] \[ g' = 2 (1 \cdot \cos(2y) + y \cdot (-2\sin(2y))) = 2(\cos(2y) - 2y\sin(2y)) \] Теперь собираем \((fg)' = f'g + fg'\): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = x \left( (e^{\sin(2y)} \cdot 2\cos(2y)) (1 + 2y\cos(2y)) + e^{\sin(2y)} (2(\cos(2y) - 2y\sin(2y))) \right) \] Выносим \(e^{\sin(2y)}\) за скобки: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = xe^{\sin(2y)} \left( 2\cos(2y)(1 + 2y\cos(2y)) + 2(\cos(2y) - 2y\sin(2y)) \right) \] Раскрываем скобки: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = xe^{\sin(2y)} \left( 2\cos(2y) + 4y\cos^2(2y) + 2\cos(2y) - 4y\sin(2y) \right) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = xe^{\sin(2y)} \left( 4\cos(2y) + 4y\cos^2(2y) - 4y\sin(2y) \right) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 4xe^{\sin(2y)} (\cos(2y) + y\cos^2(2y) - y\sin(2y)) \] Смешанная частная производная \(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (xe^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y))) \] Здесь \(e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y))\) рассматривается как константа. \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \cdot 1 = e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \] Смешанная частная производная \(\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (ye^{\sin(2y)}) \] Применяем правило произведения: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(y) \cdot e^{\sin(2y)} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{\sin(2y)}) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 1 \cdot e^{\sin(2y)} + y \cdot e^{\sin(2y)} \cdot 2\cos(2y) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \] Как и ожидалось, \(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\). Шаг 4. Находим полный дифференциал второго порядка. Полный дифференциал второго порядка \(d^2u\) выражается формулой: \[ d^2u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx^2 + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} dy^2 \] Подставляем найденные частные производные второго порядка: \[ d^2u = 0 \cdot dx^2 + 2 \cdot e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) dx dy + 4xe^{\sin(2y)} (\cos(2y) + y\cos^2(2y) - y\sin(2y)) dy^2 \] \[ d^2u = 2e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) dx dy + 4xe^{\sin(2y)} (\cos(2y) + y\cos^2(2y) - y\sin(2y)) dy^2 \] Ответ: Частные производные первого порядка: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = ye^{\sin(2y)} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = xe^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \] Полный дифференциал первого порядка: \[ du = ye^{\sin(2y)} dx + xe^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) dy \] Частные производные второго порядка: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 4xe^{\sin(2y)} (\cos(2y) + y\cos^2(2y) - y\sin(2y)) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) \] Полный дифференциал второго порядка: \[ d^2u = 2e^{\sin(2y)} (1 + 2y\cos(2y)) dx dy + 4xe^{\sin(2y)} (\cos(2y) + y\cos^2(2y) - y\sin(2y)) dy^2 \] Задача 6. Найти частные производные сложной функции \(f(x, y) = y^3\sqrt{x}\), где \(x=u^2-v^2\), \(y=u/v\). Решение: Шаг 1. Запишем функцию \(f\) в виде \(f(x,y) = y^3 x^{1/2}\). Нам нужно найти частные производные \(\frac{\partial f}{\partial u}\) и \(\frac{\partial f}{\partial v}\). Используем правило цепной дифференциации для сложной функции: \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \] \[ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \] Шаг 2. Находим частные производные \(f\) по \(x\) и \(y\). \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^3 x^{1/2}) = y^3 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} y^3 x^{-1/2} = \frac{y^3}{2\sqrt{x}} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^3 x^{1/2}) = 3y^{3-1} x^{1/2} = 3y^2 \sqrt{x} \] Шаг 3. Находим частные производные \(x\) и \(y\) по \(u\) и \(v\). Дано: \(x = u^2 - v^2\) и \(y = u/v\). Производные \(x\) по \(u\) и \(v\): \[ \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} (u^2 - v^2) = 2u \] \[ \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} (u^2 - v^2) = -2v \] Производные \(y\) по \(u\) и \(v\): \[ \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{1}{v} \cdot \frac{\partial}{\partial u}(u) = \frac{1}{v} \cdot 1 = \frac{1}{v} \] \[ \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u}{v} \right) = u \cdot \frac{\partial}{\partial v}(v^{-1}) = u \cdot (-1)v^{-2} = -\frac{u}{v^2} \] Шаг 4. Подставляем найденные производные в формулы для \(\frac{\partial f}{\partial u}\) и \(\frac{\partial f}{\partial v}\). Для \(\frac{\partial f}{\partial u}\): \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{y^3}{2\sqrt{x}} \cdot (2u) + 3y^2\sqrt{x} \cdot \left( \frac{1}{v} \right) \] \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{uy^3}{\sqrt{x}} + \frac{3y^2\sqrt{x}}{v} \] Теперь подставим выражения для \(x\) и \(y\) через \(u\) и \(v\): \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{u(u/v)^3}{\sqrt{u^2-v^2}} + \frac{3(u/v)^2\sqrt{u^2-v^2}}{v} \] \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{u^4/v^3}{\sqrt{u^2-v^2}} + \frac{3u^2/v^2 \cdot \sqrt{u^2-v^2}}{v} \] \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{u^4}{v^3\sqrt{u^2-v^2}} + \frac{3u^2\sqrt{u^2-v^2}}{v^3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{u^4 + 3u^2(u^2-v^2)}{v^3\sqrt{u^2-v^2}} \] \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{u^4 + 3u^4 - 3u^2v^2}{v^3\sqrt{u^2-v^2}} \] \[ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{4u^4 - 3u^2v^2}{v^3\sqrt{u^2-v^2}} \] Для \(\frac{\partial f}{\partial v}\): \[ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{y^3}{2\sqrt{x}} \cdot (-2v) + 3y^2\sqrt{x} \cdot \left( -\frac{u}{v^2} \right) \] \[ \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{vy^3}{\sqrt{x}} - \frac{3uy^2\sqrt{x}}{v^2} \] Теперь подставим выражения для \(x\) и \(y\) через \(u\) и \(v\): \[ \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{v(u/v)^3}{\sqrt{u^2-v^2}} - \frac{3u(u/v)^2\sqrt{u^2-v^2}}{v^2} \] \[ \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{vu^3/v^3}{\sqrt{u^2-v^2}} - \frac{3u^3/v^2 \cdot \sqrt{u^2-v^2}}{v^2} \] \[ \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{u^3/v^2}{\sqrt{u^2-v^2}} - \frac{3u^3\sqrt{u^2-v^2}}{v^4} \] \[ \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{u^3}{v^2\sqrt{u^2-v^2}} - \frac{3u^3\sqrt{u^2-v^2}}{v^4} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{-u^3v