Решение Задачи: Формула Бернулли и Задача про Урны

Задача 1. Дано: \(n = 6\) (количество выстрелов) \(k = 4\) (количество попаданий) \(p = 0,6\) (вероятность попадания) \(q = 1 - p = 0,4\) (вероятность промаха) Решение: Для решения используем формулу Бернулли: \[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] Вычислим число сочетаний: \[C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\] Подставим значения: \[P_6(4) = 15 \cdot (0,6)^4 \cdot (0,4)^2 = 15 \cdot 0,1296 \cdot 0,16 = 0,31104\] Ответ: 0,31104. Задача 2. Дано: Урна 1: 7 белых (Б), 3 черных (Ч). Всего 10. Урна 2: 2 белых (Б), 8 черных (Ч). Всего 10. Событие А — достали 1 белый и 1 черный шар. Решение: Вероятность выбора каждой урны \(P(H_1) = P(H_2) = 1/2\). Вероятность вынуть белый и черный из 1-й урны: \[P(A|H_1) = \frac{C_7^1 \cdot C_3^1}{C_{10}^2} = \frac{7 \cdot 3}{45} = \frac{21}{45}\] Вероятность вынуть белый и черный из 2-й урны: \[P(A|H_2) = \frac{C_2^1 \cdot C_8^1}{C_{10}^2} = \frac{2 \cdot 8}{45} = \frac{16}{45}\] По формуле полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\] \[P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{21}{45} + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{45} = \frac{37}{90} \approx 0,411\] Ответ: 37/90. Задача 3. Дано: \(n = 3\) (вопроса) \(p = 1/4 = 0,25\) (вероятность угадать) \(q = 3/4 = 0,75\) (вероятность ошибки) Случайная величина X — число верных ответов. Решение: X может принимать значения 0, 1, 2, 3. \[P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,25)^0 \cdot (0,75)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,421875 = 0,421875\] \[P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,25)^1 \cdot (0,75)^2 = 3 \cdot 0,25 \cdot 0,5625 = 0,421875\] \[P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,25)^2 \cdot (0,75)^1 = 3 \cdot 0,0625 \cdot 0,75 = 0,140625\] \[P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,25)^3 \cdot (0,75)^0 = 1 \cdot 0,015625 \cdot 1 = 0,015625\] Закон распределения: X: 0; 1; 2; 3 P: 0,421875; 0,421875; 0,140625; 0,015625 Математическое ожидание для биномиального распределения: \[M[X] = n \cdot p = 3 \cdot 0,25 = 0,75\] Среднеквадратическое отклонение: \[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{3 \cdot 0,25 \cdot 0,75} = \sqrt{0,5625} = 0,75\] Ответ: M[X] = 0,75; \(\sigma\) = 0,75. Задача 4. 1) Нахождение С из условия нормировки: \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \Rightarrow C \int_{0}^{3} (2x^2 + 3x + 5) dx = 1\] \[C \cdot [ \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x ]_0^3 = 1\] \[C \cdot ( \frac{2 \cdot 27}{3} + \frac{3 \cdot 9}{2} + 5 \cdot 3 ) = 1\] \[C \cdot (18 + 13,5 + 15) = 1 \Rightarrow C \cdot 46,5 = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{46,5} = \frac{2}{93}\] 2) Функция распределения F(x): При \(x < 0\): \(F(x) = 0\) При \(0 \le x < 3\): \[F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2}{93}(2t^2 + 3t + 5) dt = \frac{2}{93}(\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x)\] При \(x \ge 3\): \(F(x) = 1\) 3) Математическое ожидание M[X]: \[M[X] = \int_{0}^{3} x \cdot f(x) dx = \frac{2}{93} \int_{0}^{3} (2x^3 + 3x^2 + 5x) dx\] \[M[X] = \frac{2}{93} [ \frac{2x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} ]_0^3 = \frac{2}{93} [ \frac{x^4}{2} + x^3 + \frac{5x^2}{2} ]_0^3\] \[M[X] = \frac{2}{93} ( \frac{81}{2} + 27 + \frac{45}{2} ) = \frac{2}{93} (40,5 + 27 + 22,5) = \frac{2 \cdot 90}{93} = \frac{180}{93} = \frac{60}{31} \approx 1,935\]