Решение уравнений: 2.7А №11,13,16, 2.8А №5,6, 8.28, 8.29 (Дискриминант, Замена)

Ниже представлено решение выбранных задач в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Раздел 2.7 (А) №11. Решите уравнение: \[ 2^{x+3} - 2^x = 112 \] Решение: Используем свойство степеней \( a^{n+m} = a^n \cdot a^m \): \[ 2^x \cdot 2^3 - 2^x = 112 \] \[ 8 \cdot 2^x - 2^x = 112 \] Вынесем \( 2^x \) за скобки: \[ 2^x (8 - 1) = 112 \] \[ 7 \cdot 2^x = 112 \] Разделим обе части на 7: \[ 2^x = 16 \] \[ 2^x = 2^4 \] \[ x = 4 \] Ответ: 4. №13. Решите уравнение: \[ 2^{x+1} + 4^x = 8 \] Решение: Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \). Перепишем уравнение: \[ 2 \cdot 2^x + (2^x)^2 - 8 = 0 \] Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное уравнение: \[ t^2 + 2t - 8 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \] \[ t_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \] Так как \( t > 0 \), подходит только \( t = 2 \). Обратная замена: \[ 2^x = 2 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1. №16. Решите уравнение: \[ 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = 30 \] Решение: Вынесем \( 2^x \) за скобки: \[ 2^x (1 + 2^1 + 2^2 + 2^3) = 30 \] \[ 2^x (1 + 2 + 4 + 8) = 30 \] \[ 2^x \cdot 15 = 30 \] \[ 2^x = 2 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1. Раздел 2.8 (А) — (Примечание: в списке 2.7 Б, вероятно имелись в виду номера 5 и 6 из блока Б) №5 (Б). Решите уравнение: \[ \sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12} \] Решение: Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \[ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \\ 2x-12 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} \Rightarrow x \in [6; 9] \] Возведем обе части в квадрат: \[ (\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x})^2 = (\sqrt{2x-12})^2 \] \[ (x+1) - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + (9-x) = 2x - 12 \] \[ 10 - 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 2x - 12 \] \[ -2\sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 2x - 22 \] Разделим на -2: \[ \sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 11 - x \] Снова в квадрат (при условии \( 11-x \ge 0 \), что верно для нашего ОДЗ): \[ -x^2 + 8x + 9 = 121 - 22x + x^2 \] \[ 2x^2 - 30x + 112 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - 15x + 56 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 7, x_2 = 8 \] Оба корня входят в ОДЗ \( [6; 9] \). Ответ: 7; 8. №6 (Б). Решите уравнение: \[ \sqrt{x^2+9} - \sqrt{x^2-7} = 2 \] Решение: Пусть \( x^2 = t \), где \( t \ge 7 \) (из условия подкоренного выражения). \[ \sqrt{t+9} - \sqrt{t-7} = 2 \] \[ \sqrt{t+9} = 2 + \sqrt{t-7} \] Возведем в квадрат: \[ t+9 = 4 + 4\sqrt{t-7} + t-7 \] \[ 9 = -3 + 4\sqrt{t-7} \] \[ 12 = 4\sqrt{t-7} \] \[ 3 = \sqrt{t-7} \] \[ 9 = t - 7 \] \[ t = 16 \] Обратная замена: \[ x^2 = 16 \] \[ x = \pm 4 \] Ответ: -4; 4. Раздел 8.28 б) Система: \[ \begin{cases} 0,5^{3x} \cdot 0,5^y = 0,5 \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \end{cases} \] Решение: Приведем к одинаковым основаниям: \[ \begin{cases} 0,5^{3x+y} = 0,5^1 \\ 2^{3x-y} = 2^5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x+y = 1 \\ 3x-y = 5 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 6x = 6 \Rightarrow x = 1 \] Подставим в первое: \[ 3(1) + y = 1 \Rightarrow y = -2 \] Ответ: (1; -2). в) Система: \[ \begin{cases} 5^{2x-y} = 125 \\ 4^{x-y} = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5^{2x-y} = 5^3 \\ 4^{x-y} = 4^1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x-y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} \] Вычтем из первого уравнения второе: \[ (2x-y) - (x-y) = 3 - 1 \] \[ x = 2 \] Подставим во второе: \[ 2 - y = 1 \Rightarrow y = 1 \] Ответ: (2; 1). Раздел 8.29 в) Система: \[ \begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} \\ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125 \end{cases} \] Решение: Упростим правые части: \[ \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 5} = \sqrt{1} = 1 = (\sqrt{5})^0 \] \[ \begin{cases} 2x+y = 0 \\ 5^{-x} \cdot 5^y = 5^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -2x \\ -x+y = 3 \end{cases} \] Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ -x + (-2x) = 3 \] \[ -3x = 3 \Rightarrow x = -1 \] \[ y = -2(-1) = 2 \] Ответ: (-1; 2). г) Система: \[ \begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625 \\ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5^y \cdot 5^{2x} = 5^4 \\ 3^{-x} \cdot 3^{2y} = 3^{-3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+y = 4 \\ -x+2y = -3 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2: \[ \begin{cases} 2x+y = 4 \\ -2x+4y = -6 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 5y = -2 \Rightarrow y = -0,4 \] Найдем \( x \): \[ 2x - 0,4 = 4 \Rightarrow 2x = 4,4 \Rightarrow x = 2,2 \] Ответ: (2,2; -0,4).