Решение задач с дискриминантом и заменой переменной

Для того чтобы решить эти задачи без записи в виде системы (хотя по сути это одно и то же), мы будем последовательно упрощать каждое уравнение, находить зависимости и подставлять их. Это удобный способ для записи в тетрадь. \[ \] **№ 8.28 (б)** Уравнение 1: \( 0,5^{3x} \cdot 0,5^y = 0,5 \) Используем свойство степеней: \( 0,5^{3x+y} = 0,5^1 \). Отсюда получаем линейное уравнение: \[ 3x + y = 1 \quad (1) \] Уравнение 2: \( 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \) Так как \( 32 = 2^5 \), получаем: \( 2^{3x-y} = 2^5 \). Отсюда: \[ 3x - y = 5 \quad (2) \] Теперь выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 1 - 3x \). Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 3x - (1 - 3x) = 5 \] \[ 3x - 1 + 3x = 5 \] \[ 6x = 6 \Rightarrow x = 1 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 1 - 3 \cdot 1 = -2 \] **Ответ: (1; -2).** \[ \] **№ 8.28 (в)** Уравнение 1: \( 5^{2x-y} = 125 \) Так как \( 125 = 5^3 \), то: \[ 2x - y = 3 \quad (1) \] Уравнение 2: \( 4^{x-y} = 4 \) Так как \( 4 = 4^1 \), то: \[ x - y = 1 \quad (2) \] Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 1 + y \). Подставим в первое уравнение: \[ 2(1 + y) - y = 3 \] \[ 2 + 2y - y = 3 \] \[ y = 1 \] Найдем \( x \): \[ x = 1 + 1 = 2 \] **Ответ: (2; 1).** \[ \] **№ 8.29 (в)** Уравнение 1: \( (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} \) Упростим правую часть: \( \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 5} = \sqrt{1} = 1 \). Любое число в нулевой степени равно 1, значит: \( (\sqrt{5})^{2x+y} = (\sqrt{5})^0 \). \[ 2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x \quad (1) \] Уравнение 2: \( (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125 \) Приведем к основанию 5: \( 5^{-x} \cdot 5^y = 5^3 \). \[ -x + y = 3 \quad (2) \] Подставим \( y = -2x \) во второе уравнение: \[ -x + (-2x) = 3 \] \[ -3x = 3 \Rightarrow x = -1 \] Найдем \( y \): \[ y = -2 \cdot (-1) = 2 \] **Ответ: (-1; 2).** \[ \] **№ 8.29 (г)** Уравнение 1: \( 5^y \cdot 25^x = 625 \) Приведем к основанию 5: \( 5^y \cdot (5^2)^x = 5^4 \). \[ 5^{y+2x} = 5^4 \Rightarrow 2x + y = 4 \quad (1) \] Уравнение 2: \( (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} \) Приведем к основанию 3: \( 3^{-x} \cdot (3^2)^y = 3^{-3} \). \[ 3^{-x+2y} = 3^{-3} \Rightarrow -x + 2y = -3 \quad (2) \] Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 4 - 2x \). Подставим во второе уравнение: \[ -x + 2(4 - 2x) = -3 \] \[ -x + 8 - 4x = -3 \] \[ -5x = -11 \] \[ x = \frac{11}{5} = 2,2 \] Найдем \( y \): \[ y = 4 - 2 \cdot 2,2 = 4 - 4,4 = -0,4 \] **Ответ: (2,2; -0,4).**