Задача 1
Какой объём будет занимать газ при температуре \(77^\circ \text{C}\), если при \(27^\circ \text{C}\) его объём равен \(0,006 \text{ м}^3\), при постоянном давлении.Дано:
\(V_1 = 0,006 \text{ м}^3\)
\(t_1 = 27^\circ \text{C}\)
\(t_2 = 77^\circ \text{C}\)
\(p = \text{const}\)
Найти:
\(V_2\)
СИ:
\(T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350 \text{ К}\)
Решение:
Для изобарного процесса (при постоянном давлении) справедлив закон Гей-Люссака:
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\] Выразим \(V_2\):
\[V_2 = \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1}\] Подставим значения:
\[V_2 = \frac{0,006 \text{ м}^3 \cdot 350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\] \[V_2 = \frac{2,1}{300} \text{ м}^3\] \[V_2 = 0,007 \text{ м}^3\]
Ответ:
Объём газа при температуре \(77^\circ \text{C}\) будет \(0,007 \text{ м}^3\).
Задача 2
Газ при давлении \(200 \text{ кПа}\) и температуре \(17^\circ \text{C}\) имеет объём \(5 \text{ л}\). Чему равен объём (л) этой массы газа при давлении \(100 \text{ кПа}\) и температуре \(-3^\circ \text{C}\)?Дано:
\(p_1 = 200 \text{ кПа}\)
\(t_1 = 17^\circ \text{C}\)
\(V_1 = 5 \text{ л}\)
\(p_2 = 100 \text{ кПа}\)
\(t_2 = -3^\circ \text{C}\)
Найти:
\(V_2\)
СИ:
\(p_1 = 200 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
\(T_1 = t_1 + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}\)
\(V_1 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) (можно оставить в литрах, так как ответ тоже в литрах)
\(p_2 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = -3 + 273 = 270 \text{ К}\)
Решение:
Для данной массы газа справедлив объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона):
\[\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}\] Выразим \(V_2\):
\[V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}\] Подставим значения:
\[V_2 = \frac{200 \text{ кПа} \cdot 5 \text{ л} \cdot 270 \text{ К}}{100 \text{ кПа} \cdot 290 \text{ К}}\] \[V_2 = \frac{200 \cdot 5 \cdot 270}{100 \cdot 290} \text{ л}\] \[V_2 = \frac{1000 \cdot 270}{29000} \text{ л}\] \[V_2 = \frac{270000}{29000} \text{ л}\] \[V_2 \approx 9,31 \text{ л}\]
Ответ:
Объём газа будет примерно \(9,31 \text{ л}\).
Задача 3
В баллоне вместимостью \(25,6 \text{ л}\) находится \(1,04 \text{ кг}\) азота при давлении \(3,55 \text{ МПа}\). Определить температуру газа.Дано:
\(V = 25,6 \text{ л}\)
\(m = 1,04 \text{ кг}\)
\(p = 3,55 \text{ МПа}\)
Молярная масса азота \(M(\text{N}_2) = 28 \text{ г/моль} = 0,028 \text{ кг/моль}\)
Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)
Найти:
\(T\)
СИ:
\(V = 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)
\(p = 3,55 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
Решение:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[pV = \frac{m}{M} RT\] Выразим температуру \(T\):
\[T = \frac{pV M}{mR}\] Подставим значения:
\[T = \frac{3,55 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,028 \text{ кг/моль}}{1,04 \text{ кг} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}}\] \[T = \frac{3,55 \cdot 25,6 \cdot 0,028 \cdot 10^3}{1,04 \cdot 8,31} \text{ К}\] \[T = \frac{2540,8}{8,632} \text{ К}\] \[T \approx 294,34 \text{ К}\] Переведём в градусы Цельсия:
\(t = T - 273 = 294,34 - 273 = 21,34^\circ \text{C}\)
Ответ:
Температура газа примерно \(294,34 \text{ К}\) или \(21,34^\circ \text{C}\).
Задача 4
Определите массу водорода, находящегося в баллоне вместимостью \(20 \text{ л}\) под давлением \(830 \text{ кПа}\) при температуре \(17^\circ \text{C}\).Дано:
\(V = 20 \text{ л}\)
\(p = 830 \text{ кПа}\)
\(t = 17^\circ \text{C}\)
Молярная масса водорода \(M(\text{H}_2) = 2 \text{ г/моль} = 0,002 \text{ кг/моль}\)
Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)
Найти:
\(m\)
СИ:
\(V = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)
\(p = 830 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
\(T = t + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}\)
Решение:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[pV = \frac{m}{M} RT\] Выразим массу \(m\):
\[m = \frac{pV M}{RT}\] Подставим значения:
\[m = \frac{830 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,002 \text{ кг/моль}}{8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 290 \text{ К}}\] \[m = \frac{830 \cdot 20 \cdot 0,002}{8,31 \cdot 290} \text{ кг}\] \[m = \frac{33,2}{2409,9} \text{ кг}\] \[m \approx 0,01377 \text{ кг}\] Можно округлить до граммов:
\(m \approx 13,77 \text{ г}\)
Ответ:
Масса водорода примерно \(0,01377 \text{ кг}\) или \(13,77 \text{ г}\).
Задача 5
Газ находится в сосуде объёмом \(2 \text{ л}\), имеет давление \(3 \text{ атм}\). Какое давление будет у газа, если объём сосуда уменьшить до \(1 \text{ л}\), при условии, что температура остаётся постоянной?Дано:
\(V_1 = 2 \text{ л}\)
\(p_1 = 3 \text{ атм}\)
\(V_2 = 1 \text{ л}\)
\(T = \text{const}\)
Найти:
\(p_2\)
СИ:
Можно оставить в литрах и атмосферах, так как единицы измерения сократятся.
Решение:
Для изотермического процесса (при постоянной температуре) справедлив закон Бойля-Мариотта:
\[p_1 V_1 = p_2 V_2\] Выразим \(p_2\):
\[p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2}\] Подставим значения:
\[p_2 = \frac{3 \text{ атм} \cdot 2 \text{ л}}{1 \text{ л}}\] \[p_2 = 6 \text{ атм}\]
Ответ:
Давление газа будет \(6 \text{ атм}\).
Задача 6
Идеальный газ находится в герметичном сосуде, его температуру увеличили в \(2\) раза. Во сколько раз изменилось давление газа?Дано:
\(V = \text{const}\) (герметичный сосуд)
\(T_2 = 2 T_1\)
Найти:
Отношение \(p_2 / p_1\)
Решение:
Для изохорного процесса (при постоянном объёме) справедлив закон Шарля:
\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\] Выразим отношение \(p_2 / p_1\):
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}\] Подставим \(T_2 = 2 T_1\):
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{2 T_1}{T_1}\] \[\frac{p_2}{p_1} = 2\]
Ответ:
Давление газа увеличилось в \(2\) раза.
Задача 7
\(20\)-литровый баллон содержит \(6\) атмосфер газа при температуре \(27^\circ \text{C}\). Каким было бы давление газа, если бы его нагрели до \(77^\circ \text{C}\)?Дано:
\(V = 20 \text{ л}\) (постоянный объём, так как баллон)
\(p_1 = 6 \text{ атм}\)
\(t_1 = 27^\circ \text{C}\)
\(t_2 = 77^\circ \text{C}\)
Найти:
\(p_2\)
СИ:
\(T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350 \text{ К}\)
Решение:
Для изохорного процесса (при постоянном объёме) справедлив закон Шарля:
\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\] Выразим \(p_2\):
\[p_2 = \frac{p_1 T_2}{T_1}\] Подставим значения:
\[p_2 = \frac{6 \text{ атм} \cdot 350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\] \[p_2 = \frac{2100}{300} \text{ атм}\] \[p_2 = 7 \text{ атм}\]
Ответ:
Давление газа стало бы \(7 \text{ атм}\).
Задача 8
В сосуде находится газ под давлением \(50 \text{ кПа}\). Какое установилось давление в сосуде, после того как из него выпустили \(2/3\) газа? Температуру газа считать неизменной. Ответ дайте в кПа и округлите до десятых.Дано:
\(p_1 = 50 \text{ кПа}\)
\(m_2 = m_1 - \frac{2}{3} m_1 = \frac{1}{3} m_1\) (масса газа уменьшилась в 3 раза)
\(T = \text{const}\)
\(V = \text{const}\) (сосуд)
Найти:
\(p_2\)
СИ:
\(p_1 = 50 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
Решение:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[pV = \frac{m}{M} RT\] Так как \(V\), \(T\), \(R\), \(M\) постоянны, то давление прямо пропорционально массе газа:
\[p \sim m\] Значит,
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2}{m_1}\] Мы знаем, что \(m_2 = \frac{1}{3} m_1\).
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} m_1}{m_1} = \frac{1}{3}\] \[p_2 = \frac{1}{3} p_1\] Подставим значение \(p_1\):
\[p_2 = \frac{1}{3} \cdot 50 \text{ кПа}\] \[p_2 = 16,66