Решение Дифференциального Уравнения: x²y' - cos(2y) = 1, y(1) = π/2

Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: \[ x^2 y' - \cos(2y) = 1 \] Начальное условие: \( y(1) = \frac{\pi}{2} \) Шаг 1: Выразим \( y' \) Сначала перенесем \( \cos(2y) \) в правую часть уравнения: \[ x^2 y' = 1 + \cos(2y) \] Теперь разделим обе части на \( x^2 \): \[ y' = \frac{1 + \cos(2y)}{x^2} \] Шаг 2: Заменим \( y' \) на \( \frac{dy}{dx} \) \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \cos(2y)}{x^2} \] Шаг 3: Разделим переменные Для этого умножим обе части на \( dx \) и разделим на \( 1 + \cos(2y) \): \[ \frac{dy}{1 + \cos(2y)} = \frac{dx}{x^2} \] Шаг 4: Интегрируем обе части \[ \int \frac{dy}{1 + \cos(2y)} = \int \frac{dx}{x^2} \] Рассмотрим левый интеграл. Воспользуемся тригонометрической формулой \( 1 + \cos(2y) = 2\cos^2(y) \): \[ \int \frac{dy}{2\cos^2(y)} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(y)} dy = \frac{1}{2} \int \sec^2(y) dy \] Известно, что \( \int \sec^2(y) dy = \tan(y) \). Значит, левый интеграл равен: \[ \frac{1}{2} \tan(y) \] Рассмотрим правый интеграл: \[ \int \frac{dx}{x^2} = \int x^{-2} dx \] Известно, что \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) для \( n \neq -1 \). Значит, правый интеграл равен: \[ \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} \] Теперь приравняем результаты интегрирования и добавим константу интегрирования \( C \): \[ \frac{1}{2} \tan(y) = -\frac{1}{x} + C \] Шаг 5: Найдем константу \( C \) с помощью начального условия Начальное условие: \( y(1) = \frac{\pi}{2} \). Подставим \( x=1 \) и \( y=\frac{\pi}{2} \) в общее решение: \[ \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{1} + C \] Однако, \( \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) \) не определен (стремится к бесконечности). Это означает, что в процессе деления на \( 1 + \cos(2y) \) мы могли потерять решения, для которых \( 1 + \cos(2y) = 0 \). Давайте проверим этот случай. Если \( 1 + \cos(2y) = 0 \), то \( \cos(2y) = -1 \). Это происходит, когда \( 2y = \pi + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. Тогда \( y = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Для нашего начального условия \( y(1) = \frac{\pi}{2} \), это соответствует \( k=0 \). Если \( y = \frac{\pi}{2} \), то \( y' = 0 \). Подставим \( y = \frac{\pi}{2} \) и \( y' = 0 \) в исходное уравнение: \[ x^2 \cdot 0 - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 1 \] \[ 0 - \cos(\pi) = 1 \] \[ 0 - (-1) = 1 \] \[ 1 = 1 \] Это тождество. Значит, \( y = \frac{\pi}{2} \) является решением исходного дифференциального уравнения. Поскольку начальное условие \( y(1) = \frac{\pi}{2} \) удовлетворяет этому решению, то \( y = \frac{\pi}{2} \) является частным решением данного дифференциального уравнения с заданным начальным условием. Ответ: Частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием: \[ y = \frac{\pi}{2} \]