Решение Задачи на Гиперболу: Нахождение Фокусов и Асимптот

Хорошо, давайте решим задачу с гиперболой и построим её график. На изображении представлены следующие данные для гиперболы: 1. Формула для нахождения фокусного расстояния \(c\): \[c^2 = a^2 + b^2\] 2. Подставленные значения: \[c^2 = 25 + 64 = 89\] 3. Значение \(c\): \[c = \sqrt{89} \approx 9,...\] 4. Координаты фокусов \(F_1\) и \(F_2\): \[F_1(-\sqrt{89}; 0)\] \[F_2(\sqrt{89}; 0)\] Это означает, что гипербола имеет горизонтальную главную ось. 5. Уравнения асимптот гиперболы: \[y = \pm \frac{b}{a} x\] Из \(a^2 = 25\) и \(b^2 = 64\) получаем \(a = 5\) и \(b = 8\). Значит, уравнения асимптот: \[y = \pm \frac{8}{5} x\] 6. На изображении также есть запись: \[x = \pm \frac{64}{25} = \pm 2 \frac{14}{25}\] \[y = \pm \frac{14}{25}\] Эти значения, вероятно, относятся к какой-то конкретной точке или свойству, но для построения самой гиперболы и её асимптот нам достаточно \(a\), \(b\) и \(c\). Давайте теперь построим гиперболу.

Построение гиперболы

Для построения гиперболы нам понадобятся: 1. Центр гиперболы: В данном случае центр находится в начале координат \((0; 0)\). 2. Вершины гиперболы: Поскольку главная ось горизонтальная, вершины находятся в точках \((\pm a; 0)\). \[A_1(-5; 0)\] \[A_2(5; 0)\] 3. Фокусы гиперболы: \[F_1(-\sqrt{89}; 0) \approx (-9.43; 0)\] \[F_2(\sqrt{89}; 0) \approx (9.43; 0)\] 4. Асимптоты гиперболы: \[y = \frac{8}{5} x\] \[y = -\frac{8}{5} x\] Для построения асимптот можно отметить точки. Например, если \(x=5\), то \(y = \frac{8}{5} \cdot 5 = 8\). Если \(x=-5\), то \(y = \frac{8}{5} \cdot (-5) = -8\). Также можно построить прямоугольник с вершинами \((\pm a, \pm b)\), то есть \((\pm 5, \pm 8)\). Диагонали этого прямоугольника будут лежать на асимптотах.

Шаги построения:

1. Начертите систему координат. 2. Отметьте центр гиперболы \((0; 0)\). 3. Отметьте вершины \(A_1(-5; 0)\) и \(A_2(5; 0)\). 4. Отметьте фокусы \(F_1(-\sqrt{89}; 0)\) и \(F_2(\sqrt{89}; 0)\). 5. Постройте вспомогательный прямоугольник с вершинами в точках \((\pm 5, \pm 8)\). То есть, проведите вертикальные линии через \(x = \pm 5\) и горизонтальные линии через \(y = \pm 8\). 6. Проведите прямые через противоположные углы этого прямоугольника и через центр \((0; 0)\). Это будут асимптоты гиперболы. 7. Нарисуйте ветви гиперболы. Они должны проходить через вершины \(A_1\) и \(A_2\) и приближаться к асимптотам, но никогда их не пересекать.

График гиперболы

(Здесь должен быть рисунок, но я не могу его нарисовать. Представьте, что вы рисуете его в тетради, следуя инструкциям выше.) На вашем рисунке уже есть координатные оси. Вам нужно нанести на них точки и линии, как описано выше.

Дополнительная задача (из нижней части изображения)

На изображении также есть задача 4: \[y = x^2 + 2x + 3\] \[y = x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 3)\] Это уравнение параболы. Давайте его проанализируем.

Анализ параболы \(y = x^2 + 2x + 3\)

Это квадратная функция вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\). 1. Направление ветвей: Поскольку \(a=1 > 0\), ветви параболы направлены вверх. 2. Координаты вершины параболы: Координата \(x\) вершины: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] \[x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1\] Координата \(y\) вершины: \[y_в = (-1)^2 + 2(-1) + 3\] \[y_в = 1 - 2 + 3\] \[y_в = 2\] Вершина параболы находится в точке \((-1; 2)\). 3. Ось симметрии: Прямая \(x = -1\). 4. Пересечение с осью \(y\): При \(x=0\), \(y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3\). Точка \((0; 3)\). 5. Пересечение с осью \(x\): Для этого нужно решить уравнение \(x^2 + 2x + 3 = 0\). Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac\] \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\] \[D = 4 - 12\] \[D = -8\] Поскольку \(D < 0\), парабола не пересекает ось \(x\). Это логично, так как вершина находится выше оси \(x\) (в точке \((-1; 2)\)), и ветви направлены вверх.

Построение параболы \(y = x^2 + 2x + 3\)

1. Начертите систему координат. 2. Отметьте вершину параболы \((-1; 2)\). 3. Отметьте точку пересечения с осью \(y\): \((0; 3)\). 4. Используя ось симметрии \(x = -1\), найдите симметричную точку относительно \((0; 3)\). Это будет точка \((-2; 3)\). 5. Можно найти еще несколько точек, например: Если \(x=1\), \(y = 1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\). Точка \((1; 6)\). Симметричная точка: \((-3; 6)\). 6. Соедините отмеченные точки плавной кривой, помня, что ветви направлены вверх. (Здесь также должен быть рисунок параболы.) Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам переписать решение в тетрадь!