Задача 1
Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Решение:
Когда шар вписан в цилиндр, это означает, что высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.
Пусть \(R\) — радиус шара.
Объём шара \(V_{шара}\) вычисляется по формуле:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\]По условию, \(V_{шара} = 18\), значит:
\[\frac{4}{3} \pi R^3 = 18\]Объём цилиндра \(V_{цилиндра}\) вычисляется по формуле:
\[V_{цилиндра} = \pi r_{осн}^2 h\]Где \(r_{осн}\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.
Так как шар вписан в цилиндр:
- Радиус основания цилиндра \(r_{осн}\) равен радиусу шара \(R\).
- Высота цилиндра \(h\) равна диаметру шара, то есть \(h = 2R\).
Подставим эти значения в формулу объёма цилиндра:
\[V_{цилиндра} = \pi (R)^2 (2R) = 2 \pi R^3\]Теперь мы можем выразить \(\pi R^3\) из формулы объёма шара:
\[\frac{4}{3} \pi R^3 = 18\] \[\pi R^3 = 18 \cdot \frac{3}{4}\] \[\pi R^3 = \frac{54}{4}\] \[\pi R^3 = 13.5\]Теперь подставим это значение в формулу объёма цилиндра:
\[V_{цилиндра} = 2 \cdot (\pi R^3) = 2 \cdot 13.5\] \[V_{цилиндра} = 27\]Ответ:
Объём цилиндра равен 27.
Задача 2
Цилиндр, объём которого равен 18, описал около шара. Найдите объём шара.
Решение:
Когда цилиндр описан около шара, это означает, что шар вписан в цилиндр. То есть, ситуация такая же, как в предыдущей задаче.
Пусть \(R\) — радиус шара.
Для цилиндра, описанного около шара:
- Радиус основания цилиндра \(r_{осн}\) равен радиусу шара \(R\).
- Высота цилиндра \(h\) равна диаметру шара, то есть \(h = 2R\).
Объём цилиндра \(V_{цилиндра}\) вычисляется по формуле:
\[V_{цилиндра} = \pi r_{осн}^2 h\]Подставим \(r_{осн} = R\) и \(h = 2R\):
\[V_{цилиндра} = \pi (R)^2 (2R) = 2 \pi R^3\]По условию, \(V_{цилиндра} = 18\), значит:
\[2 \pi R^3 = 18\] \[\pi R^3 = \frac{18}{2}\] \[\pi R^3 = 9\]Объём шара \(V_{шара}\) вычисляется по формуле:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\]Подставим значение \(\pi R^3 = 9\) в формулу объёма шара:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \cdot 9\] \[V_{шара} = 4 \cdot 3\] \[V_{шара} = 12\]Ответ:
Объём шара равен 12.
Задача 3
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.
Решение:
Когда шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен радиусу шара \(R\), а высота цилиндра равна диаметру шара \(2R\).
Площадь полной поверхности цилиндра \(S_{цилиндра}\) вычисляется по формуле:
\[S_{цилиндра} = 2 \pi r_{осн}^2 + 2 \pi r_{осн} h\]Где \(r_{осн}\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.
Подставим \(r_{осн} = R\) и \(h = 2R\):
\[S_{цилиндра} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R (2R)\] \[S_{цилиндра} = 2 \pi R^2 + 4 \pi R^2\] \[S_{цилиндра} = 6 \pi R^2\]По условию, \(S_{цилиндра} = 30\), значит:
\[6 \pi R^2 = 30\] \[\pi R^2 = \frac{30}{6}\] \[\pi R^2 = 5\]Площадь поверхности шара \(S_{шара}\) вычисляется по формуле:
\[S_{шара} = 4 \pi R^2\]Подставим значение \(\pi R^2 = 5\) в формулу площади поверхности шара:
\[S_{шара} = 4 \cdot 5\] \[S_{шара} = 20\]Ответ:
Площадь поверхности шара равна 20.
Задача 4
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.
Решение:
Пусть \(R\) — радиус шара.
По условию, радиус основания конуса \(r_{осн}\) равен радиусу шара \(R\), то есть \(r_{осн} = R\).
Если радиус основания конуса равен радиусу шара, это означает, что основание конуса лежит на "экваторе" шара, то есть центр основания конуса совпадает с центром шара. В этом случае высота конуса \(h\) будет равна радиусу шара \(R\).
Объём шара \(V_{шара}\) вычисляется по формуле:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\]По условию, \(V_{шара} = 60\), значит:
\[\frac{4}{3} \pi R^3 = 60\] \[\pi R^3 = 60 \cdot \frac{3}{4}\] \[\pi R^3 = 15 \cdot 3\] \[\pi R^3 = 45\]Объём конуса \(V_{конуса}\) вычисляется по формуле:
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r_{осн}^2 h\]Подставим \(r_{осн} = R\) и \(h = R\):
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 R\] \[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^3\]Теперь подставим значение \(\pi R^3 = 45\) в формулу объёма конуса:
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot 45\] \[V_{конуса} = 15\]Ответ:
Объём конуса равен 15.
Задача 5
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.
Решение:
Пусть \(R\) — радиус шара.
По условию, радиус основания конуса \(r_{осн}\) равен радиусу шара \(R\), то есть \(r_{осн} = R\).
Как и в предыдущей задаче, если радиус основания конуса равен радиусу шара, то высота конуса \(h\) будет равна радиусу шара \(R\).
Объём конуса \(V_{конуса}\) вычисляется по формуле:
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r_{осн}^2 h\]Подставим \(r_{осн} = R\) и \(h = R\):
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 R\] \[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^3\]По условию, \(V_{конуса} = 12\), значит:
\[\frac{1}{3} \pi R^3 = 12\] \[\pi R^3 = 12 \cdot 3\] \[\pi R^3 = 36\]Объём шара \(V_{шара}\) вычисляется по формуле:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\]Подставим значение \(\pi R^3 = 36\) в формулу объёма шара:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \cdot 36\] \[V_{шара} = 4 \cdot 12\] \[V_{шара} = 48\]Ответ:
Объём шара равен 48.