Хорошо, давайте разберем эти задачи по порядку. Все задачи связаны с графиками функций вида гиперболы. Общий вид такой функции: \(f(x) = \frac{k}{x+a}\).
Задача 1
На рисунке изображён график функции \(f(x) = \frac{k}{x+a}\). Найдите \(f(50)\).
Решение:
1. Определим значение \(a\).
На графике видно, что вертикальная асимптота проходит через \(x = -3\). Для функции вида \(f(x) = \frac{k}{x+a}\) вертикальная асимптота находится при \(x+a = 0\), то есть \(x = -a\).
Из графика: \(-a = -3\), значит \(a = 3\).
Теперь функция имеет вид: \(f(x) = \frac{k}{x+3}\).
2. Определим значение \(k\).
На графике есть точка, через которую проходит гипербола. Давайте найдем удобную точку. Например, точка \((-1, -2)\).
Подставим координаты этой точки в уравнение функции:
\(-2 = \frac{k}{-1+3}\)
\(-2 = \frac{k}{2}\)
Умножим обе части на 2:
\(k = -2 \cdot 2\)
\(k = -4\)
Теперь функция полностью определена: \(f(x) = \frac{-4}{x+3}\).
3. Найдем \(f(50)\).
Подставим \(x = 50\) в найденную функцию:
\(f(50) = \frac{-4}{50+3}\)
\(f(50) = \frac{-4}{53}\)
Вычислим значение:
\(f(50) \approx -0.07547\)
Если нужно в десятичной дроби, то \(-4 \div 53 \approx -0.075\).
На рисунке в кружочке написано \(-2,96\), что, вероятно, является ответом к другой задаче или ошибкой. Давайте перепроверим.
Если взять точку \((1, -1)\), то \(-1 = \frac{k}{1+3} \Rightarrow -1 = \frac{k}{4} \Rightarrow k = -4\).
Если взять точку \((0, -4/3)\), то \(-4/3 = \frac{k}{0+3} \Rightarrow -4/3 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = -4\).
Значит, \(k = -4\) и \(a = 3\) определены верно.
\(f(50) = \frac{-4}{53}\).
Возможно, в задаче опечатка и нужно найти \(f(x)\) при каком-то другом значении.
На рисунке есть запись \(f(50) = \frac{2}{50} - 3 = 0.04 - 3 = -2.96\). Это соответствует функции вида \(f(x) = \frac{2}{x} - 3\).
Давайте проверим, соответствует ли график функции \(f(x) = \frac{2}{x} - 3\) изображенному.
Вертикальная асимптота: \(x = 0\). На графике \(x = -3\). Значит, это другая функция.
Горизонтальная асимптота: \(y = -3\). На графике \(y = 0\).
Таким образом, функция, которая написана в решении на листе, не соответствует графику.
Мой расчет \(f(x) = \frac{-4}{x+3}\) и \(f(50) = \frac{-4}{53}\) верен для данного графика.
Если же мы должны использовать функцию, которая написана на листе, то есть \(f(x) = \frac{k}{x} + a\), а не \(f(x) = \frac{k}{x+a}\).
Давайте попробуем определить параметры для \(f(x) = \frac{k}{x} + a\).
Горизонтальная асимптота: \(y = a\). На графике \(y = 0\), значит \(a = 0\).
Вертикальная асимптота: \(x = 0\). На графике \(x = -3\).
Это означает, что функция на листе и график не совпадают.
Будем придерживаться формулы, указанной в условии: \(f(x) = \frac{k}{x+a}\).
Итак, \(a = 3\), \(k = -4\).
\(f(x) = \frac{-4}{x+3}\).
\(f(50) = \frac{-4}{50+3} = \frac{-4}{53}\).
Ответ:
\(f(50) = \frac{-4}{53}\).
Задача 2
На рисунке изображён график функции \(f(x) = \frac{k}{x+a}\). Найдите \(f(0.25)\).
Решение:
1. Определим значение \(a\).
Вертикальная асимптота проходит через \(x = -2\).
Для функции \(f(x) = \frac{k}{x+a}\), вертикальная асимптота \(x = -a\).
Значит, \(-a = -2\), откуда \(a = 2\).
Функция имеет вид: \(f(x) = \frac{k}{x+2}\).
2. Определим значение \(k\).
На графике есть точка, через которую проходит гипербола. Например, точка \((-1, -3)\).
Подставим координаты этой точки в уравнение функции:
\(-3 = \frac{k}{-1+2}\)
\(-3 = \frac{k}{1}\)
\(k = -3\)
Теперь функция полностью определена: \(f(x) = \frac{-3}{x+2}\).
3. Найдем \(f(0.25)\).
Подставим \(x = 0.25\) в найденную функцию:
\(f(0.25) = \frac{-3}{0.25+2}\)
\(f(0.25) = \frac{-3}{2.25}\)
Чтобы было удобнее считать, представим 2.25 как дробь: \(2.25 = \frac{9}{4}\).
\(f(0.25) = \frac{-3}{\frac{9}{4}}\)
\(f(0.25) = -3 \cdot \frac{4}{9}\)
\(f(0.25) = -\frac{12}{9}\)
Сократим дробь на 3:
\(f(0.25) = -\frac{4}{3}\)
В десятичной дроби: \(f(0.25) \approx -1.333...\)
На рисунке в кружочке написано \(-14\). Это, вероятно, ответ к другой задаче или ошибка.
На листе есть запись \(f(4/3) = \frac{-3}{4/3+2} = \frac{-3}{10/3} = -9/10 = -0.9\). Это не соответствует \(f(0.25)\).
Также есть запись \(f(4/3) = -8.4 - 2.5 = -10.9\). Это тоже не соответствует.
Мой расчет \(f(x) = \frac{-3}{x+2}\) и \(f(0.25) = -\frac{4}{3}\) верен для данного графика.
Ответ:
\(f(0.25) = -\frac{4}{3}\).
Задача 3
На рисунке изображён график функции \(f(x) = \frac{k}{x+a}\). Найдите, при каком значении \(x\) значение функции равно 19.
Решение:
1. Определим значение \(a\).
Вертикальная асимптота проходит через \(x = -1\).
Для функции \(f(x) = \frac{k}{x+a}\), вертикальная асимптота \(x = -a\).
Значит, \(-a = -1\), откуда \(a = 1\).
Функция имеет вид: \(f(x) = \frac{k}{x+1}\).
2. Определим значение \(k\).
На графике есть точка, через которую проходит гипербола. Например, точка \((1, 2)\).
Подставим координаты этой точки в уравнение функции:
\(2 = \frac{k}{1+1}\)
\(2 = \frac{k}{2}\)
Умножим обе части на 2:
\(k = 2 \cdot 2\)
\(k = 4\)
Теперь функция полностью определена: \(f(x) = \frac{4}{x+1}\).
3. Найдем \(x\), при котором \(f(x) = 19\).
Подставим \(f(x) = 19\) в найденную функцию:
\(19 = \frac{4}{x+1}\)
Умножим обе части на \((x+1)\):
\(19(x+1) = 4\)
Раскроем скобки:
\(19x + 19 = 4\)
Вычтем 19 из обеих частей:
\(19x = 4 - 19\)
\(19x = -15\)
Разделим на 19:
\(x = -\frac{15}{19}\)
В десятичной дроби: \(x \approx -0.789...\)
На рисунке в кружочке написано \(0.1\). Это, вероятно, ответ к другой задаче или ошибка.
На листе есть запись \(19 = \frac{2}{x} - 1\). Это соответствует функции \(f(x) = \frac{2}{x} - 1\).
Давайте проверим, соответствует ли график функции \(f(x) = \frac{2}{x} - 1\) изображенному.
Вертикальная асимптота: \(x = 0\). На графике \(x = -1\). Значит, это другая функция.
Горизонтальная асимптота: \(y = -1\). На графике \(y = 0\).
Таким образом, функция, которая написана в решении на листе, не соответствует графику.
Мой расчет \(f(x) = \frac{4}{x+1}\) и \(x = -\frac{15}{19}\) верен для данного графика.
Ответ:
\(x = -\frac{15}{19}\).
Объяснение, как решать такие задачи:
Для решения задач с графиками гипербол вида \(f(x) = \frac{k}{x+a}\) нужно выполнить следующие шаги:
1. Определить значение \(a\).
Значение \(a\) отвечает за горизонтальный сдвиг графика. Вертикальная асимптота гиперболы \(f(x) = \frac{k}{x+a}\) находится в точке, где знаменатель равен нулю, то есть \(x+a = 0\), или \(x = -a\).
Посмотрите на график и найдите вертикальную пунктирную линию, к которой приближается график, но никогда ее не пересекает. Это и есть вертикальная асимптота. Определите ее координату по оси \(x\). Пусть эта координата будет \(x_0\). Тогда \(-a = x_0\), откуда \(a = -x_0\).
2. Определить значение \(k\).
Значение \(k\) отвечает за "крутизну" гиперболы и ее расположение в четвертях относительно асимптот.
После того как вы нашли \(a\), выберите любую удобную точку на графике, через которую проходит гипербола. Удобно выбирать точки с целыми координатами, если они есть. Пусть выбранная точка имеет координаты \((x_1, y_1)\).
Подставьте эти координаты и найденное значение \(a\) в уравнение функции:
\(y_1 = \frac{k}{x_1+a}\)
Из этого уравнения выразите \(k\):
\(k = y_1 \cdot (x_1+a)\)
3. Записать полное уравнение функции.
После того как вы нашли \(a\) и \(k\), подставьте их в общий вид функции \(f(x) = \frac{k}{x+a}\).
4. Выполнить требуемое действие.
* Если нужно найти значение функции при заданном \(x\), просто подставьте это значение \(x\) в найденное уравнение функции и вычислите \(f(x)\).
* Если нужно найти \(x\) при заданном значении функции \(f(x)\), подставьте это значение в уравнение функции и решите полученное уравнение относительно \(x\).
Например, если \(f(x) = C\), то \(C = \frac{k}{x+a}\).
\(C(x+a) = k\)
\(x+a = \frac{k}{C}\)
\(x = \frac{k}{C} - a\)
Следуя этим шагам, вы сможете решить любую подобную задачу.
