Решение задачи: Конус вписан в шар

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1

Условие

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 144. Найдите объём конуса.

Решение

1. Обозначим радиус шара как \(R\). 2. По условию, радиус основания конуса равен радиусу шара, то есть \(r_{конуса} = R\). 3. Если конус вписан в шар, и радиус его основания равен радиусу шара, это означает, что основание конуса лежит на "экваторе" шара. 4. В этом случае высота конуса будет равна радиусу шара, то есть \(h_{конуса} = R\). 5. Формула объёма шара: \(V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\). 6. Нам дано, что \(V_{шара} = 144\). Значит, \(\frac{4}{3} \pi R^3 = 144\). Отсюда, \(\pi R^3 = 144 \cdot \frac{3}{4} = 36 \cdot 3 = 108\). 7. Формула объёма конуса: \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r_{конуса}^2 h_{конуса}\). 8. Подставим \(r_{конуса} = R\) и \(h_{конуса} = R\): \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3\). 9. Мы уже нашли, что \(\pi R^3 = 108\). Тогда \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot 108 = 36\).

Ответ

Объём конуса равен 36.

Задача 2

Условие

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Решение

1. Большой круг шара — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Радиус большого круга равен радиусу шара. 2. Площадь круга вычисляется по формуле \(S_{круга} = \pi r^2\). 3. По условию, площадь большого круга шара равна 3. Обозначим радиус шара как \(R\). Значит, \(\pi R^2 = 3\). 4. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \(S_{поверхности} = 4 \pi R^2\). 5. Подставим значение \(\pi R^2 = 3\) в формулу площади поверхности шара: \(S_{поверхности} = 4 \cdot 3 = 12\).

Ответ

Площадь поверхности шара равна 12.

Задача 3

Условие

Объём шара равен \(288 \pi\). Найдите площадь его поверхности, деленную на \(\pi\).

Решение

1. Обозначим радиус шара как \(R\). 2. Формула объёма шара: \(V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\). 3. Нам дано, что \(V_{шара} = 288 \pi\). Значит, \(\frac{4}{3} \pi R^3 = 288 \pi\). 4. Разделим обе части уравнения на \(\pi\): \(\frac{4}{3} R^3 = 288\). 5. Найдем \(R^3\): \(R^3 = 288 \cdot \frac{3}{4} = 72 \cdot 3 = 216\). 6. Найдем \(R\): \(R = \sqrt[3]{216} = 6\). 7. Формула площади поверхности шара: \(S_{поверхности} = 4 \pi R^2\). 8. Подставим \(R = 6\): \(S_{поверхности} = 4 \pi (6)^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi\). 9. Нам нужно найти площадь поверхности шара, деленную на \(\pi\). \(\frac{S_{поверхности}}{\pi} = \frac{144 \pi}{\pi} = 144\).

Ответ

Площадь поверхности шара, деленная на \(\pi\), равна 144.

Задача 4

Условие

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Решение

1. Обозначим радиусы данных шаров как \(R_1 = 6\), \(R_2 = 8\), \(R_3 = 10\). 2. Формула объёма шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\). 3. Найдем объемы каждого из трех шаров: \(V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 4 \pi \cdot 72 = 288 \pi\). \(V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{4}{3} \pi (8)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi\). \(V_3 = \frac{4}{3} \pi R_3^3 = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1000 = \frac{4000}{3} \pi\). 4. Найдем сумму объемов этих шаров: \(V_{сумма} = V_1 + V_2 + V_3 = 288 \pi + \frac{2048}{3} \pi + \frac{4000}{3} \pi\). Приведем к общему знаменателю: \(V_{сумма} = \frac{3 \cdot 288 \pi + 2048 \pi + 4000 \pi}{3} = \frac{864 \pi + 2048 \pi + 4000 \pi}{3} = \frac{6912 \pi}{3} = 2304 \pi\). 5. Пусть \(R_{нового}\) — радиус шара, объем которого равен \(V_{сумма}\). Тогда \(V_{нового} = \frac{4}{3} \pi R_{нового}^3\). Мы знаем, что \(V_{нового} = V_{сумма} = 2304 \pi\). Значит, \(\frac{4}{3} \pi R_{нового}^3 = 2304 \pi\). 6. Разделим обе части на \(\pi\): \(\frac{4}{3} R_{нового}^3 = 2304\). 7. Найдем \(R_{нового}^3\): \(R_{нового}^3 = 2304 \cdot \frac{3}{4} = 576 \cdot 3 = 1728\). 8. Найдем \(R_{нового}\): \(R_{нового} = \sqrt[3]{1728}\). Можно заметить, что \(12^3 = 1728\). \(R_{нового} = 12\).

Ответ

Радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров, равен 12.

Задача 5

Условие

Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Решение

1. Обозначим радиусы данных шаров как \(R_1 = 6\) и \(R_2 = 8\). 2. Формула площади поверхности шара: \(S = 4 \pi R^2\). 3. Найдем площади поверхностей каждого из двух шаров: \(S_1 = 4 \pi R_1^2 = 4 \pi (6)^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi\). \(S_2 = 4 \pi R_2^2 = 4 \pi (8)^2 = 4 \pi \cdot 64 = 256 \pi\). 4. Найдем сумму площадей поверхностей этих шаров: \(S_{сумма} = S_1 + S_2 = 144 \pi + 256 \pi = 400 \pi\). 5. Пусть \(R_{нового}\) — радиус шара, площадь поверхности которого равна \(S_{сумма}\). Тогда \(S_{нового} = 4 \pi R_{нового}^2\). Мы знаем, что \(S_{нового} = S_{сумма} = 400 \pi\). Значит, \(4 \pi R_{нового}^2 = 400 \pi\). 6. Разделим обе части на \(4 \pi\): \(R_{нового}^2 = \frac{400 \pi}{4 \pi} = 100\). 7. Найдем \(R_{нового}\): \(R_{нового} = \sqrt{100} = 10\).

Ответ

Радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров, равен 10.

Задача 6

Условие

Медный куб, ребро которого равно 10 см, переплавлен в шар. Найдите радиус шара (Потерями металла при переплавке можно пренебречь.)

Решение

1. При переплавке объем материала сохраняется. Значит, объем куба равен объему шара. 2. Обозначим ребро куба как \(a = 10\) см. 3. Формула объема куба: \(V_{куба} = a^3\). \(V_{куба} = (10)^3 = 1000\) см\(^3\). 4. Обозначим радиус шара как \(R\). 5. Формула объема шара: \(V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\). 6. Приравняем объемы: \(\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000\). 7. Найдем \(R^3\): \(R^3 = \frac{1000 \cdot 3}{4} = 250 \cdot 3 = 750\). 8. Найдем \(R\): \(R = \sqrt[3]{750}\). Можно упростить: \(750 = 125 \cdot 6\). \(R = \sqrt[3]{125 \cdot 6} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{6} = 5 \sqrt[3]{6}\).

Ответ

Радиус шара равен \(5 \sqrt[3]{6}\) см.

Задача 7

Условие

Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6 см?

Решение

1. Обозначим радиус маленького шара как \(r = 2\) см. 2. Обозначим радиус большого шара как \(R = 6\) см. 3. Формула объема шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\). 4. Найдем объем одного маленького шара: \(V_{маленького} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi\) см\(^3\). 5. Найдем объем большого шара: \(V_{большого} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 4 \pi \cdot 72 = 288 \pi\) см\(^3\). 6. Пусть \(N\) — количество маленьких шаров. Сумма объемов маленьких шаров должна быть равна объему большого шара: \(N \cdot V_{маленького} = V_{большого}\). 7. Подставим найденные значения: \(N \cdot \frac{32}{3} \pi = 288 \pi\). 8. Разделим обе части на \(\pi\): \(N \cdot \frac{32}{3} = 288\). 9. Найдем \(N\): \(N = 288 \cdot \frac{3}{32}\). \(N = 9 \cdot 3 = 27\).

Ответ

Нужно взять 27 шаров радиуса 2 см.

Как вообще такое решать?

Для успешного решения задач по геометрии, особенно связанных с объемами и площадями поверхностей, нужно знать основные формулы и уметь их применять. Вот пошаговый подход: 1. Внимательно прочитайте условие задачи: * Что дано? (Известные величины: радиусы, объемы, площади, ребра и т.д.) * Что нужно найти? (Искомая величина.) * Есть ли какие-то дополнительные условия или связи между фигурами? (Например, "вписан", "переплавлен", "сумма объемов".) 2. Вспомните или найдите нужные формулы: * Для шара: * Объем: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\) * Площадь поверхности: \(S = 4 \pi R^2\) * Площадь большого круга: \(S_{круга} = \pi R^2\) * Для конуса: * Объем: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) * Для куба: * Объем: \(V = a^3\) * Для других фигур, если они встречаются. 3. Установите связи между величинами: * Если одна фигура вписана в другую, как связаны их размеры? (Например, в задаче 1, если конус вписан в шар, и радиус основания конуса равен радиусу шара, то высота конуса тоже равна радиусу шара.) * Если происходит переплавка, то объем сохраняется. * Если речь идет о сумме объемов или площадей, то нужно сложить соответствующие величины. 4. Составьте уравнение или систему уравнений: * Подставьте известные значения в формулы. * Используйте связи между величинами для выражения одних через другие. 5. Решите уравнение (или систему): * Выполните алгебраические преобразования, чтобы найти искомую величину. * Будьте внимательны с вычислениями. 6. Запишите ответ: * Убедитесь, что ответ соответствует вопросу задачи и имеет правильные единицы измерения (если они указаны). Пример для задачи 1: * Дано: Конус вписан в шар, \(r_{конуса} = R_{шара}\), \(V_{шара} = 144\). * Найти: \(V_{конуса}\). * Формулы: \(V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\), \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r_{конуса}^2 h_{конуса}\). * Связи: Из условия \(r_{конуса} = R_{шара}\) и того, что конус вписан в шар таким образом, следует, что \(h_{конуса} = R_{шара}\). * Уравнения: 1. \(\frac{4}{3} \pi R^3 = 144\) (известен объем шара) 2. \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi