Решить логарифм неравенства по пунктам
1. Возвести степень
2. Написать возрастает или убивает функция
3. Написать основание в пределах от 0 до 1
4. Сделать систему
5. Ответ
Нажмите для увеличения
lightbulb
Краткий ответ
Решение логарифмического неравенства включает возведение в степень, определение возрастания функции и составление системы неравенств. Ответ находится путем решения полученной системы.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте решим эти логарифмические неравенства по вашему плану.
4. Решить неравенство: \( \log_5 (3x+1) < 2 \)
1. Возведем степень:
Представим число 2 как логарифм по основанию 5:
\( 2 = \log_5 5^2 = \log_5 25 \)
Тогда неравенство примет вид:
\( \log_5 (3x+1) < \log_5 25 \)
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция \( y = \log_5 x \) является возрастающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 5 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.
4. Составим систему неравенств:
Для логарифмической функции выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.
а) \( 3x+1 > 0 \)
б) \( 3x+1 < 25 \) (так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( 3x+1 > 0 \)
\( 3x > -1 \)
\( x > -\frac{1}{3} \)
б) \( 3x+1 < 25 \)
\( 3x < 25 - 1 \)
\( 3x < 24 \)
\( x < \frac{24}{3} \)
\( x < 8 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x < 8 \end{cases} \]
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in \left( -\frac{1}{3}; 8 \right) \)
1. Возведем степень:
Представим число 1 как логарифм по основанию \( \frac{1}{4} \):
\( 1 = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^1 = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \)
Тогда неравенство примет вид:
\( \log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \)
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = \frac{1}{4} \). Так как \( 0 < \frac{1}{4} < 1 \), функция \( y = \log_{\frac{1}{4}} x \) является убывающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 0 < \frac{1}{4} < 1 \), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
4. Составим систему неравенств:
а) \( \frac{x}{5} > 0 \)
б) \( \frac{x}{5} < \frac{1}{4} \) (так как функция убывающая, знак неравенства меняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( \frac{x}{5} > 0 \)
\( x > 0 \)
б) \( \frac{x}{5} < \frac{1}{4} \)
Умножим обе части на 20 (наименьшее общее кратное 5 и 4), чтобы избавиться от знаменателей:
\( 4x < 5 \)
\( x < \frac{5}{4} \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{5}{4} \end{cases} \]
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in \left( 0; \frac{5}{4} \right) \)
1. Возведем степень:
Представим число -2 как логарифм по основанию 0,5:
\( -2 = \log_{0,5} (0,5)^{-2} = \log_{0,5} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \log_{0,5} 2^2 = \log_{0,5} 4 \)
Тогда неравенство примет вид:
\( \log_{0,5} \frac{x}{3} \ge \log_{0,5} 4 \)
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = 0,5 \). Так как \( 0 < 0,5 < 1 \), функция \( y = \log_{0,5} x \) является убывающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 0 < 0,5 < 1 \), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
4. Составим систему неравенств:
а) \( \frac{x}{3} > 0 \)
б) \( \frac{x}{3} \le 4 \) (так как функция убывающая, знак неравенства меняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( \frac{x}{3} > 0 \)
\( x > 0 \)
б) \( \frac{x}{3} \le 4 \)
Умножим обе части на 3:
\( x \le 12 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > 0 \\ x \le 12 \end{cases} \]
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in (0; 12] \)
1. Возведем степень:
Представим число 4 как логарифм по основанию \( \sqrt{3} \):
\( 4 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4 = \log_{\sqrt{3}} (3^{1/2})^4 = \log_{\sqrt{3}} 3^2 = \log_{\sqrt{3}} 9 \)
Тогда неравенство примет вид:
\( \log_{\sqrt{3}} (2x-3) < \log_{\sqrt{3}} 9 \)
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = \sqrt{3} \). Так как \( \sqrt{3} \approx 1,732 > 1 \), функция \( y = \log_{\sqrt{3}} x \) является возрастающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( \sqrt{3} > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.
4. Составим систему неравенств:
а) \( 2x-3 > 0 \)
б) \( 2x-3 < 9 \) (так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( 2x-3 > 0 \)
\( 2x > 3 \)
\( x > \frac{3}{2} \)
б) \( 2x-3 < 9 \)
\( 2x < 9 + 3 \)
\( 2x < 12 \)
\( x < \frac{12}{2} \)
\( x < 6 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x < 6 \end{cases} \]
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in \left( \frac{3}{2}; 6 \right) \)
11. Решить неравенство: \( \log_5 x > \log_5 (3x-4) \)
1. Возводить степень не нужно, так как обе части уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция \( y = \log_5 x \) является возрастающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 5 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.
4. Составим систему неравенств:
Для логарифмической функции выражения под логарифмами должны быть строго больше нуля.
а) \( x > 0 \)
б) \( 3x-4 > 0 \)
в) \( x > 3x-4 \) (так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( x > 0 \)
б) \( 3x-4 > 0 \)
\( 3x > 4 \)
\( x > \frac{4}{3} \)
в) \( x > 3x-4 \)
\( x - 3x > -4 \)
\( -2x > -4 \)
Разделим на -2, при этом знак неравенства меняется:
\( x < \frac{-4}{-2} \)
\( x < 2 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{4}{3} \\ x < 2 \end{cases} \]
Найдем пересечение этих интервалов.
\( x > 0 \) и \( x > \frac{4}{3} \) дают \( x > \frac{4}{3} \).
Теперь пересечем \( x > \frac{4}{3} \) с \( x < 2 \).
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in \left( \frac{4}{3}; 2 \right) \)
1. Возводить степень не нужно, так как обе части уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \) является убывающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
4. Составим систему неравенств:
а) \( 5x-9 > 0 \)
б) \( 4x > 0 \)
в) \( 5x-9 \le 4x \) (так как функция убывающая, знак неравенства меняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( 5x-9 > 0 \)
\( 5x > 9 \)
\( x > \frac{9}{5} \)
б) \( 4x > 0 \)
\( x > 0 \)
в) \( 5x-9 \le 4x \)
\( 5x - 4x \le 9 \)
\( x \le 9 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > 0 \\ x \le 9 \end{cases} \]
Найдем пересечение этих интервалов.
\( x > \frac{9}{5} \) и \( x > 0 \) дают \( x > \frac{9}{5} \).
Теперь пересечем \( x > \frac{9}{5} \) с \( x \le 9 \).
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in \left( \frac{9}{5}; 9 \right] \)
13. Решить неравенство: \( \log_{0,6} (2x-1) < \log_{0,6} x \)
1. Возводить степень не нужно, так как обе части уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = 0,6 \). Так как \( 0 < 0,6 < 1 \), функция \( y = \log_{0,6} x \) является убывающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 0 < 0,6 < 1 \), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
4. Составим систему неравенств:
а) \( 2x-1 > 0 \)
б) \( x > 0 \)
в) \( 2x-1 > x \) (так как функция убывающая, знак неравенства меняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( 2x-1 > 0 \)
\( 2x > 1 \)
\( x > \frac{1}{2} \)
б) \( x > 0 \)
в) \( 2x-1 > x \)
\( 2x - x > 1 \)
\( x > 1 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \]
Найдем пересечение этих интервалов.
Все три условия сводятся к самому строгому: \( x > 1 \).
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in (1; +\infty) \)
1. Возводить степень не нужно, так как обе части уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция \( y = \log_3 x \) является возрастающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 3 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.
4. Составим систему неравенств:
а) \( 8-6x > 0 \)
б) \( 2x > 0 \)
в) \( 8-6x \le 2x \) (так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется)
Решим каждое неравенство:
а) \( 8-6x > 0 \)
\( -6x > -8 \)
Разделим на -6, при этом знак неравенства меняется:
\( x < \frac{-8}{-6} \)
\( x < \frac{4}{3} \)
б) \( 2x > 0 \)
\( x > 0 \)
в) \( 8-6x \le 2x \)
\( 8 \le 2x + 6x \)
\( 8 \le 8x \)
\( \frac{8}{8} \le x \)
\( 1 \le x \) или \( x \ge 1 \)
Объединим решения в систему:
\[ \begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x > 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \]
Найдем пересечение этих интервалов.
\( x > 0 \) и \( x \ge 1 \) дают \( x \ge 1 \).
Теперь пересечем \( x \ge 1 \) с \( x < \frac{4}{3} \).
5. Ответ:
Решением системы является интервал:
\( x \in \left[ 1; \frac{4}{3} \right) \)
1. Возводить степень не нужно, так как обе части уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Определим, возрастает или убывает функция:
Основание логарифма \( a = \frac{1}{8} \). Так как \( 0 < \frac{1}{8} < 1 \), функция \( y = \log_{\frac{1}{8}} x \) является убывающей.
3. Основание в пределах от 0 до 1:
В данном случае основание \( 0 < \frac{1}{8} < 1 \), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
4. Составим систему неравенств:
а) \( -x > 0 \)
б) \( 4-2x > 0 \)
в) \( -x < 4-
