Решить логарифмичесуие неравенства по плану
1. В степень
2. Пишем убывает или возрастает функция ( так делаем основание в пределах от 0 до 1)
3. Пишем Систему
4. Ответ
Нажмите для увеличения
lightbulb
Краткий ответ
На странице представлено подробное решение логарифмического неравенства с основанием 0,1. Рассмотрены все этапы: преобразование, определение убывания функции, составление системы и запись ответа.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте решим эти логарифмические неравенства по предложенному плану.
Решение логарифмических неравенств
Неравенство 6
\[ \log_{0,1} x > -\frac{1}{2} \]
1. Представим правую часть как логарифм по основанию 0,1:
\[ -\frac{1}{2} = \log_{0,1} (0,1)^{-\frac{1}{2}} \]
\[ (0,1)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-\frac{1}{2}} = (10)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} \]
Тогда неравенство примет вид:
\[ \log_{0,1} x > \log_{0,1} \sqrt{10} \]
2. Основание логарифма \(0,1\) находится в пределах от 0 до 1 (\(0 < 0,1 < 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{0,1} x\) убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент логарифма должен быть положительным:
\[ x > 0 \]
b) Учитывая убывание функции, меняем знак неравенства:
\[ x < \sqrt{10} \]
Объединяем эти условия:
\[ 0 < x < \sqrt{10} \]
4. Ответ: \(x \in (0; \sqrt{10})\)
Неравенство 7
\[ \log_5 (3x+1) < 2 \]
1. Представим правую часть как логарифм по основанию 5:
\[ 2 = \log_5 5^2 = \log_5 25 \]
Тогда неравенство примет вид:
\[ \log_5 (3x+1) < \log_5 25 \]
2. Основание логарифма \(5\) больше 1 (\(5 > 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_5 x\) возрастает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент логарифма должен быть положительным:
\[ 3x+1 > 0 \]
\[ 3x > -1 \]
\[ x > -\frac{1}{3} \]
b) Учитывая возрастание функции, сохраняем знак неравенства:
\[ 3x+1 < 25 \]
\[ 3x < 24 \]
\[ x < 8 \]
Объединяем эти условия:
\[ -\frac{1}{3} < x < 8 \]
4. Ответ: \(x \in \left(-\frac{1}{3}; 8\right)\)
Неравенство 8
\[ \log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > 1 \]
1. Представим правую часть как логарифм по основанию \(\frac{1}{4}\):
\[ 1 = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^1 = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \]
Тогда неравенство примет вид:
\[ \log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \]
2. Основание логарифма \(\frac{1}{4}\) находится в пределах от 0 до 1 (\(0 < \frac{1}{4} < 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\) убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент логарифма должен быть положительным:
\[ \frac{x}{5} > 0 \]
\[ x > 0 \]
b) Учитывая убывание функции, меняем знак неравенства:
\[ \frac{x}{5} < \frac{1}{4} \]
\[ x < \frac{5}{4} \]
Объединяем эти условия:
\[ 0 < x < \frac{5}{4} \]
4. Ответ: \(x \in \left(0; \frac{5}{4}\right)\)
Неравенство 9
\[ \log_{0,5} \frac{x}{3} \ge -2 \]
1. Представим правую часть как логарифм по основанию 0,5:
\[ -2 = \log_{0,5} (0,5)^{-2} \]
\[ (0,5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \]
Тогда неравенство примет вид:
\[ \log_{0,5} \frac{x}{3} \ge \log_{0,5} 4 \]
2. Основание логарифма \(0,5\) находится в пределах от 0 до 1 (\(0 < 0,5 < 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{0,5} x\) убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент логарифма должен быть положительным:
\[ \frac{x}{3} > 0 \]
\[ x > 0 \]
b) Учитывая убывание функции, меняем знак неравенства:
\[ \frac{x}{3} \le 4 \]
\[ x \le 12 \]
Объединяем эти условия:
\[ 0 < x \le 12 \]
4. Ответ: \(x \in (0; 12]\)
Неравенство 10
\[ \log_{\sqrt{3}} (2x-3) < 4 \]
1. Представим правую часть как логарифм по основанию \(\sqrt{3}\):
\[ 4 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4 \]
\[ (\sqrt{3})^4 = (3^{\frac{1}{2}})^4 = 3^2 = 9 \]
Тогда неравенство примет вид:
\[ \log_{\sqrt{3}} (2x-3) < \log_{\sqrt{3}} 9 \]
2. Основание логарифма \(\sqrt{3}\) больше 1 (\(\sqrt{3} \approx 1,732 > 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{\sqrt{3}} x\) возрастает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент логарифма должен быть положительным:
\[ 2x-3 > 0 \]
\[ 2x > 3 \]
\[ x > \frac{3}{2} \]
b) Учитывая возрастание функции, сохраняем знак неравенства:
\[ 2x-3 < 9 \]
\[ 2x < 12 \]
\[ x < 6 \]
Объединяем эти условия:
\[ \frac{3}{2} < x < 6 \]
4. Ответ: \(x \in \left(\frac{3}{2}; 6\right)\)
Неравенство 11
\[ \log_5 x > \log_5 (3x-4) \]
1. Обе части неравенства уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Основание логарифма \(5\) больше 1 (\(5 > 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_5 x\) возрастает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
\[ x > 0 \]
b) Аргумент второго логарифма должен быть положительным:
\[ 3x-4 > 0 \]
\[ 3x > 4 \]
\[ x > \frac{4}{3} \]
c) Учитывая возрастание функции, сохраняем знак неравенства:
\[ x > 3x-4 \]
\[ x - 3x > -4 \]
\[ -2x > -4 \]
\[ x < 2 \]
Объединяем все условия:
\[ x > 0 \]
\[ x > \frac{4}{3} \]
\[ x < 2 \]
Наибольшее из нижних ограничений - \(\frac{4}{3}\).
Значит, \(\frac{4}{3} < x < 2\).
4. Ответ: \(x \in \left(\frac{4}{3}; 2\right)\)
Неравенство 12
\[ \log_{\frac{1}{3}} (5x-9) \ge \log_{\frac{1}{3}} 4x \]
1. Обе части неравенства уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Основание логарифма \(\frac{1}{3}\) находится в пределах от 0 до 1 (\(0 < \frac{1}{3} < 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
\[ 5x-9 > 0 \]
\[ 5x > 9 \]
\[ x > \frac{9}{5} \]
b) Аргумент второго логарифма должен быть положительным:
\[ 4x > 0 \]
\[ x > 0 \]
c) Учитывая убывание функции, меняем знак неравенства:
\[ 5x-9 \le 4x \]
\[ 5x - 4x \le 9 \]
\[ x \le 9 \]
Объединяем все условия:
\[ x > \frac{9}{5} \]
\[ x > 0 \]
\[ x \le 9 \]
Наибольшее из нижних ограничений - \(\frac{9}{5}\).
Значит, \(\frac{9}{5} < x \le 9\).
4. Ответ: \(x \in \left(\frac{9}{5}; 9\right]\)
Неравенство 13
\[ \log_{0,6} (2x-1) < \log_{0,6} x \]
1. Обе части неравенства уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Основание логарифма \(0,6\) находится в пределах от 0 до 1 (\(0 < 0,6 < 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{0,6} x\) убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
\[ 2x-1 > 0 \]
\[ 2x > 1 \]
\[ x > \frac{1}{2} \]
b) Аргумент второго логарифма должен быть положительным:
\[ x > 0 \]
c) Учитывая убывание функции, меняем знак неравенства:
\[ 2x-1 > x \]
\[ 2x - x > 1 \]
\[ x > 1 \]
Объединяем все условия:
\[ x > \frac{1}{2} \]
\[ x > 0 \]
\[ x > 1 \]
Наибольшее из нижних ограничений - \(1\).
Значит, \(x > 1\).
4. Ответ: \(x \in (1; +\infty)\)
Неравенство 14
\[ \log_3 (8-6x) \le \log_3 2x \]
1. Обе части неравенства уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Основание логарифма \(3\) больше 1 (\(3 > 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_3 x\) возрастает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
\[ 8-6x > 0 \]
\[ -6x > -8 \]
\[ x < \frac{-8}{-6} \]
\[ x < \frac{4}{3} \]
b) Аргумент второго логарифма должен быть положительным:
\[ 2x > 0 \]
\[ x > 0 \]
c) Учитывая возрастание функции, сохраняем знак неравенства:
\[ 8-6x \le 2x \]
\[ 8 \le 2x + 6x \]
\[ 8 \le 8x \]
\[ 1 \le x \]
\[ x \ge 1 \]
Объединяем все условия:
\[ x < \frac{4}{3} \]
\[ x > 0 \]
\[ x \ge 1 \]
Значит, \(1 \le x < \frac{4}{3}\).
4. Ответ: \(x \in \left[1; \frac{4}{3}\right)\)
Неравенство 15
\[ \log_{\frac{1}{2}} (-x) > \log_{\frac{1}{2}} (4-2x) \]
1. Обе части неравенства уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Основание логарифма \(\frac{1}{2}\) находится в пределах от 0 до 1 (\(0 < \frac{1}{2} < 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
\[ -x > 0 \]
\[ x < 0 \]
b) Аргумент второго логарифма должен быть положительным:
\[ 4-2x > 0 \]
\[ -2x > -4 \]
\[ x < \frac{-4}{-2} \]
\[ x < 2 \]
c) Учитывая убывание функции, меняем знак неравенства:
\[ -x < 4-2x \]
\[ -x + 2x < 4 \]
\[ x < 4 \]
Объединяем все условия:
\[ x < 0 \]
\[ x < 2 \]
\[ x < 4 \]
Наименьшее из верхних ограничений - \(0\).
Значит, \(x < 0\).
4. Ответ: \(x \in (-\infty; 0)\)
Неравенство 16
\[ \log_{2,5} (6-x) < \log_{2,5} (4-x) \]
1. Обе части неравенства уже представлены в виде логарифмов с одинаковым основанием.
2. Основание логарифма \(2,5\) больше 1 (\(2,5 > 1\)). Значит, логарифмическая функция \(y = \log_{2,5} x\) возрастает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется.
3. Составим систему неравенств:
a) Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
\[ 6-x > 0 \]
\[ -x > -6 \]
\[ x < 6 \]
b) Аргумент второго логарифма должен быть положительным:
\[ 4-x > 0 \]
\[ -x > -4 \]
\[ x < 4 \]
c) Учитывая возрастание функции, сохраняем знак неравенства:
\[ 6-x < 4-x \]
\[ 6 < 4 \]
Это неравенство \(6 < 4\) является ложным. Это означает, что не существует значений \(x\), при которых \(6-x < 4-x\).
Поскольку условие \(6-x < 4-x\) не выполняется ни при каких \(x\), то и исходное логарифмическое неравенство не имеет решений.
4. Ответ: Решений нет (или \(x \in \emptyset\))
