Решение неравенства |(x-5)/x|(x^2-x-12)≤0 методом интервалов

Решим неравенство: \[ \left| \frac{x-5}{x} \right| (x^2 - x - 12) \le 0 \] Для начала, заметим, что выражение \( \left| \frac{x-5}{x} \right| \) всегда неотрицательно, то есть \( \left| \frac{x-5}{x} \right| \ge 0 \). Произведение двух множителей меньше или равно нулю, если один из множителей равен нулю, или если один множитель положителен, а другой отрицателен. Рассмотрим два случая: Случай 1: \( \left| \frac{x-5}{x} \right| = 0 \) Это возможно, когда числитель дроби равен нулю, то есть \( x-5 = 0 \). Отсюда \( x = 5 \). При этом знаменатель \( x \ne 0 \), что выполняется. Значит, \( x=5 \) является решением неравенства. Случай 2: \( \left| \frac{x-5}{x} \right| > 0 \) и \( (x^2 - x - 12) \le 0 \) Условие \( \left| \frac{x-5}{x} \right| > 0 \) означает, что \( \frac{x-5}{x} \ne 0 \), то есть \( x \ne 5 \) и \( x \ne 0 \). Теперь решим квадратное неравенство \( x^2 - x - 12 \le 0 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 12 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=-12 \). \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \). Корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) \( x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) Так как парабола \( y = x^2 - x - 12 \) имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен), то \( x^2 - x - 12 \le 0 \) при \( x \in [-3; 4] \). Теперь объединим условия для Случая 2: 1. \( x \in [-3; 4] \) 2. \( x \ne 5 \) 3. \( x \ne 0 \) Из этих условий получаем, что \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \). Объединим решения из Случая 1 и Случая 2. Из Случая 1 мы получили \( x=5 \). Из Случая 2 мы получили \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \). Окончательное решение - это объединение этих множеств: \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \cup \{5\} \). Запишем решение в тетрадь: Решение неравенства: \[ \left| \frac{x-5}{x} \right| (x^2 - x - 12) \le 0 \] Шаг 1: Анализ множителей. Первый множитель \( \left| \frac{x-5}{x} \right| \) всегда неотрицателен, то есть \( \left| \frac{x-5}{x} \right| \ge 0 \). Произведение двух множителей меньше или равно нулю, если: а) Один из множителей равен нулю. б) Один множитель положителен, а другой отрицателен. Шаг 2: Рассматриваем случай, когда первый множитель равен нулю. \( \left| \frac{x-5}{x} \right| = 0 \) Это возможно, если \( x-5 = 0 \). Отсюда \( x = 5 \). При этом знаменатель \( x \ne 0 \), что выполняется. Значит, \( x=5 \) является одним из решений. Шаг 3: Рассматриваем случай, когда первый множитель положителен, а второй неположителен. \( \left| \frac{x-5}{x} \right| > 0 \) и \( (x^2 - x - 12) \le 0 \) Условие \( \left| \frac{x-5}{x} \right| > 0 \) означает, что \( \frac{x-5}{x} \ne 0 \). Это значит, что \( x-5 \ne 0 \) и \( x \ne 0 \). То есть, \( x \ne 5 \) и \( x \ne 0 \). Теперь решим неравенство \( x^2 - x - 12 \le 0 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 12 = 0 \). Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \). Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (равен 1), парабола направлена ветвями вверх. Значит, \( x^2 - x - 12 \le 0 \) при \( x \in [-3; 4] \). Шаг 4: Объединяем условия для второго случая. Мы имеем \( x \in [-3; 4] \), но при этом \( x \ne 5 \) и \( x \ne 0 \). Исключаем \( x=0 \) из интервала \( [-3; 4] \). Получаем \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \). Условие \( x \ne 5 \) уже учтено, так как 5 не входит в интервал \( [-3; 4] \). Шаг 5: Объединяем все решения. Решение из Шага 2: \( x=5 \). Решение из Шага 4: \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \). Объединяя эти решения, получаем: \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \cup \{5\} \). Ответ: \( x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \cup \{5\} \).