Решение задачи по геометрии без теоремы Пифагора

Решение задачи: Дано: Треугольник \(ABC\) - прямоугольный, с прямым углом при вершине \(C\). Точка \(D\) лежит на катете \(CB\). Из точки \(D\) опущен перпендикуляр \(DE\) на гипотенузу \(AB\). \(CB = 12\) \(DE = 2,5\) \(EB = 6\) Найти: Длину \(AB\). Ход решения: 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(DBE\). Угол \(B\) является общим для обоих треугольников. Угол \(BCA = 90^\circ\) (по условию, треугольник \(ABC\) - прямоугольный). Угол \(DEB = 90^\circ\) (по условию, \(DE\) - перпендикуляр к \(AB\)). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(DBE\) подобны по двум углам (угол \(B\) - общий, и по одному прямому углу). 2. Из подобия треугольников \(ABC\) и \(DBE\) следует отношение соответствующих сторон: \[ \frac{DE}{AC} = \frac{EB}{CB} = \frac{DB}{AB} \] 3. Используем известное отношение: \[ \frac{EB}{CB} = \frac{DE}{AC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{6}{12} = \frac{2,5}{AC} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{2,5}{AC} \] Отсюда найдем \(AC\): \[ AC = 2,5 \cdot 2 \] \[ AC = 5 \] 4. Теперь используем другое отношение из подобия: \[ \frac{EB}{CB} = \frac{DB}{AB} \] Мы знаем, что \(EB = 6\) и \(CB = 12\), поэтому \(\frac{EB}{CB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Значит: \[ \frac{1}{2} = \frac{DB}{AB} \] Отсюда \(AB = 2 \cdot DB\). 5. Нам нужно найти \(DB\). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \(DBE\). В этом треугольнике \(DE = 2,5\) и \(EB = 6\). Мы можем найти \(DB\) с помощью теоремы Пифагора в треугольнике \(DBE\). \(DB^2 = DE^2 + EB^2\) \(DB^2 = (2,5)^2 + 6^2\) \(DB^2 = 6,25 + 36\) \(DB^2 = 42,25\) \(DB = \sqrt{42,25}\) \(DB = 6,5\) 6. Теперь, зная \(DB\), найдем \(AB\): \(AB = 2 \cdot DB\) \(AB = 2 \cdot 6,5\) \(AB = 13\) Ответ: Длина \(AB\) равна 13.