Неравенство 1
2) \(\frac{x}{5} - 5 > 1\frac{3}{4} - \frac{5x}{2}\)
Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:
\(1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(\frac{x}{5} - 5 > \frac{7}{4} - \frac{5x}{2}\)
Найдем общий знаменатель для всех дробей. Это будет 20.
Умножим все члены неравенства на 20, чтобы избавиться от знаменателей:
\(20 \cdot \frac{x}{5} - 20 \cdot 5 > 20 \cdot \frac{7}{4} - 20 \cdot \frac{5x}{2}\)
\(4x - 100 > 5 \cdot 7 - 10 \cdot 5x\)
\(4x - 100 > 35 - 50x\)
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа - в правую:
\(4x + 50x > 35 + 100\)
\(54x > 135\)
Разделим обе части на 54:
\(x > \frac{135}{54}\)
Сократим дробь. Оба числа делятся на 27:
\(135 \div 27 = 5\)
\(54 \div 27 = 2\)
Значит:
\(x > \frac{5}{2}\)
Или в десятичной дроби:
\(x > 2.5\)
Решение неравенства: \(x \in (2.5; +\infty)\)
Числовая ось:
Неравенство 2
4) \(8 + \frac{3y - 2}{4} > \frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3}\)
Найдем общий знаменатель для всех дробей. Это будет 12.
Умножим все члены неравенства на 12:
\(12 \cdot 8 + 12 \cdot \frac{3y - 2}{4} > 12 \cdot \frac{y - 1}{6} - 12 \cdot \frac{5y + 4}{3}\)
\(96 + 3(3y - 2) > 2(y - 1) - 4(5y + 4)\)
Раскроем скобки:
\(96 + 9y - 6 > 2y - 2 - 20y - 16\)
Приведем подобные члены в каждой части:
\(90 + 9y > -18y - 18\)
Перенесем члены с \(y\) в левую часть, а числа - в правую:
\(9y + 18y > -18 - 90\)
\(27y > -108\)
Разделим обе части на 27:
\(y > \frac{-108}{27}\)
\(y > -4\)
Решение неравенства: \(y \in (-4; +\infty)\)
Числовая ось:
Неравенство 3
2) \(\frac{x - 4}{3} + 3x \ge \frac{x}{3} - \frac{x + 1}{4}\)
Найдем общий знаменатель для всех дробей. Это будет 12.
Умножим все члены неравенства на 12:
\(12 \cdot \frac{x - 4}{3} + 12 \cdot 3x \ge 12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{x + 1}{4}\)
\(4(x - 4) + 36x \ge 4x - 3(x + 1)\)
Раскроем скобки:
\(4x - 16 + 36x \ge 4x - 3x - 3\)
Приведем подобные члены в каждой части:
\(40x - 16 \ge x - 3\)
Перенесем члены с \(x\) в левую часть, а числа - в правую:
\(40x - x \ge -3 + 16\)
\(39x \ge 13\)
Разделим обе части на 39:
\(x \ge \frac{13}{39}\)
Сократим дробь. Оба числа делятся на 13:
\(x \ge \frac{1}{3}\)
Решение неравенства: \(x \in [\frac{1}{3}; +\infty)\)
Числовая ось:
Неравенство 4
4) \(\frac{3x + 1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x - 2}{3} + \frac{3x}{5}\)
Найдем общий знаменатель для всех дробей. Это будет 60.
Умножим все члены неравенства на 60:
\(60 \cdot \frac{3x + 1}{4} - 60 \cdot \frac{x}{2} < 60 \cdot \frac{5x - 2}{3} + 60 \cdot \frac{3x}{5}\)
\(15(3x + 1) - 30x < 20(5x - 2) + 12(3x)\)
Раскроем скобки:
\(45x + 15 - 30x < 100x - 40 + 36x\)
Приведем подобные члены в каждой части:
\(15x + 15 < 136x - 40\)
Перенесем члены с \(x\) в левую часть, а числа - в правую:
\(15x - 136x < -40 - 15\)
\(-121x < -55\)
Разделим обе части на -121. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\(x > \frac{-55}{-121}\)
\(x > \frac{55}{121}\)
Сократим дробь. Оба числа делятся на 11:
\(x > \frac{5}{11}\)
Решение неравенства: \(x \in (\frac{5}{11}; +\infty)\)
Числовая ось: