Задача: Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.
Дано: \(MNKP\) – параллелограмм; \(MA\) – биссектриса угла \(M\); \(NB\) – биссектриса угла \(N\).
Доказать: \(MA \perp NB\).
Доказательство:
1. По определению биссектрисы:
\(\angle NMA = 0,5 \angle M\)
\(\angle MNB = 0,5 \angle N\)
2. Сложим эти два равенства:
\(\angle NMA + \angle MNB = 0,5 (\angle M + \angle N)\)
3. В параллелограмме \(MNKP\) соседние углы \(M\) и \(N\) являются односторонними углами при параллельных прямых \(MP\) и \(NK\) и секущей \(MN\).
По свойству параллельных прямых и секущей, сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle M + \angle N = 180^\circ\).
4. Подставим это значение в равенство из пункта 2:
\(\angle NMA + \angle MNB = 0,5 \cdot 180^\circ = 90^\circ\).
5. Рассмотрим треугольник \(\triangle MNC\).
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\(\angle NMC + \angle MNC + \angle NCM = 180^\circ\).
6. Мы знаем, что \(\angle NMC = \angle NMA\) и \(\angle MNC = \angle MNB\).
Тогда \(\angle NMA + \angle MNB + \angle NCM = 180^\circ\).
Подставим значение \(\angle NMA + \angle MNB = 90^\circ\):
\(90^\circ + \angle NCM = 180^\circ\).
7. Найдем \(\angle NCM\):
\(\angle NCM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
8. Угол \(\angle NCM\) – это угол между биссектрисами \(MA\) и \(NB\). Поскольку \(\angle NCM = 90^\circ\), это означает, что биссектрисы \(MA\) и \(NB\) перпендикулярны.
Значит, \(MA \perp NB\).
Что и требовалось доказать.
Заполненные пропуски:
Дано: \(MNKP\) – параллелограмм; \(MA\) – биссектриса угла \(M\); \(NB\) – биссектриса угла \(N\).
Доказать: \(MA \perp NB\).
Доказательство: \(\angle NMA = 0,5 \angle M\); \(\angle MNB = 0,5 \angle N\).
\(\angle NMA + \angle MNB = 0,5 (\angle M + \angle N)\).
\(\angle M + \angle N = 180^\circ\) (как односторонние углы при \(MP \parallel NK\) и секущей \(MN\)).
Тогда \(\angle NMA + \angle MNB = 90^\circ\).
В \(\triangle MNC\): \(\angle NMC + \angle MNC + \angle NCM = 180^\circ\).
\(\angle NCM = 90^\circ\), значит, \(MA \perp NB\).
Что и требовалось доказать.