Задача 8. Угол между высотами параллелограмма.
На рисунке \(OA\) и \(OB\) – высоты параллелограмма \(FORD\). Сумма углов \(F\) и \(R\) равна \(44^\circ\). Найдите угол \(AOB\).
Решение:
1. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, \(\angle F = \angle D\) и \(\angle O = \angle R\).
2. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). То есть \(\angle F + \angle O = 180^\circ\).
3. Нам дано, что \(\angle F + \angle R = 44^\circ\). Поскольку \(\angle O = \angle R\), мы можем записать \(\angle F + \angle O = 44^\circ\).
4. Это противоречит свойству параллелограмма, что \(\angle F + \angle O = 180^\circ\). Вероятно, в условии опечатка, и имелась в виду сумма углов \(F\) и \(D\), или \(O\) и \(R\), или же сумма углов \(F\) и \(O\) (или \(R\) и \(D\)) равна \(180^\circ\), а \(44^\circ\) - это что-то другое. Давайте предположим, что \(44^\circ\) - это один из острых углов параллелограмма, например, \(\angle F = 44^\circ\).
Переформулируем условие, чтобы оно имело смысл:
Пусть в параллелограмме \(FORD\) один из углов, например, \(\angle F\), равен \(44^\circ\). (Если бы \(\angle F + \angle R = 44^\circ\), то \(\angle F = \angle R = 22^\circ\), что является острым углом. Тогда \(\angle O = 180^\circ - 22^\circ = 158^\circ\).)
Давайте исходить из того, что \(\angle F = 44^\circ\).
1. Рассмотрим четырехугольник \(OADB\). Углы \(\angle OAD\) и \(\angle OBD\) прямые, так как \(OA\) и \(OB\) – высоты.
\(OA \perp FD\), значит \(\angle OAD = 90^\circ\).
\(OB \perp RD\), значит \(\angle OBD = 90^\circ\).
2. Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\).
\(\angle AOB + \angle OAD + \angle ADB + \angle OBD = 360^\circ\).
\(\angle AOB + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\).
\(\angle AOB + \angle ADB + 180^\circ = 360^\circ\).
\(\angle AOB + \angle ADB = 180^\circ\).
3. Угол \(\angle ADB\) – это угол \(\angle D\) параллелограмма. В параллелограмме \(\angle D = \angle F\).
Если \(\angle F = 44^\circ\), то \(\angle D = 44^\circ\).
4. Тогда \(\angle AOB + 44^\circ = 180^\circ\).
\(\angle AOB = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ\).
Если же интерпретировать "Сумма углов F и R равна 44°" буквально:
В параллелограмме \(FORD\), \(\angle F = \angle D\) и \(\angle O = \angle R\).
Дано: \(\angle F + \angle R = 44^\circ\).
Так как \(\angle F\) и \(\angle R\) являются противоположными углами в параллелограмме, они равны. То есть \(\angle F = \angle R\).
Тогда \(2 \cdot \angle F = 44^\circ\), откуда \(\angle F = 22^\circ\).
Значит, \(\angle D = \angle F = 22^\circ\).
Теперь используем четырехугольник \(OADB\), как и выше:
\(\angle AOB + \angle ADB = 180^\circ\).
\(\angle AOB + \angle D = 180^\circ\).
\(\angle AOB + 22^\circ = 180^\circ\).
\(\angle AOB = 180^\circ - 22^\circ = 158^\circ\).
Этот вариант более логичен, так как использует данное условие напрямую. Угол между высотами, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма, не содержащему эту вершину, или \(180^\circ\) минус этот угол. В данном случае, \(\angle AOB\) и \(\angle D\) являются противоположными углами в четырехугольнике \(OADB\), где \(\angle OAD = \angle OBD = 90^\circ\). Поэтому \(\angle AOB + \angle D = 180^\circ\).
Ответ: \(158\).
Задача 9. Найдите угол C параллелограмма ABCD.
Найдите величину угла \(C\) параллелограмма \(ABCD\), если биссектриса угла \(A\) образует со стороной \(BC\) угол, равный \(35^\circ\).
Решение:
1. Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\).
2. Дано, что \(\angle AMB = 35^\circ\).
3. В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны (\(AD \parallel BC\)).
4. \(AM\) является секущей для параллельных прямых \(AD\) и \(BC\).
5. Углы \(\angle DAM\) и \(\angle AMB\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AM\).
6. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны. Значит, \(\angle DAM = \angle AMB = 35^\circ\).
7. \(AM\) – биссектриса угла \(A\). Это означает, что она делит угол \(A\) на два равных угла: \(\angle DAM = \angle BAM\).
8. Следовательно, \(\angle BAM = 35^\circ\).
9. Полный угол \(A\) параллелограмма равен \(\angle A = \angle DAM + \angle BAM = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ\).
10. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). То есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle C = 180^\circ\).
11. Также в параллелограмме противоположные углы равны. Значит, \(\angle C = \angle A\).
12. Таким образом, \(\angle C = 70^\circ\).
Ответ: \(70\).
Задача 10. Параллелограмм MFKS.
В параллелограмме \(MFKS\) \(MF : MK = 1 : 2\) и \(\angle SKM\) равен \(38^\circ\). Найдите наименьший из углов, образованных диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. Пусть диагонали параллелограмма \(MFKS\) пересекаются в точке \(O\).
2. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, \(MF = SK\) и \(MK = FS\).
3. Дано отношение сторон \(MF : MK = 1 : 2\). Пусть \(MF = x\), тогда \(MK = 2x\).
4. Дано \(\angle SKM = 38^\circ\). Это угол \(\angle K\) параллелограмма.
5. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle F + \angle K = 180^\circ\).
\(\angle F = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\).
6. Рассмотрим треугольник \(\triangle SKM\). Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
7. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. То есть \(MO = OK\) и \(FO = OS\).
8. Рассмотрим \(\triangle MOK\). В этом треугольнике стороны \(MO\) и \(OK\) являются половинами диагоналей. Угол \(\angle MOK\) - это один из углов, образованных диагоналями.
9. Угол \(\angle SKM\) - это угол параллелограмма. Угол \(\angle K\) параллелограмма равен \(38^\circ\).
10. Угол \(\angle FSM\) также равен \(38^\circ\) (противоположный угол).
11. Угол \(\angle F = \angle S = 142^\circ\).
12. Нам нужно найти наименьший из углов, образованных диагоналями. Диагонали образуют две пары вертикальных углов. Если один угол \(\alpha\), то смежный с ним угол \(180^\circ - \alpha\). Наименьший будет тот, который меньше \(90^\circ\).
13. Рассмотрим \(\triangle MKS\). Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
14. В параллелограмме \(MFKS\), \(MF \parallel KS\). Значит, \(\angle FMS\) и \(\angle KSM\) являются накрест лежащими углами при секущей \(MS\).
15. Также \(MK \parallel FS\). Значит, \(\angle FKM\) и \(\angle KFS\) являются накрест лежащими углами при секущей \(FK\).
16. Давайте используем свойство, что угол между диагоналями параллелограмма связан с углами параллелограмма. В \(\triangle MKS\), \(\angle K = 38^\circ\). В \(\triangle FSM\), \(\angle S = 142^\circ\).
17. Рассмотрим \(\triangle FOK\). Угол \(\angle FOK\) - это один из углов между диагоналями. Угол \(\angle OFK\) - это часть угла \(\angle F\). Угол \(\angle OKF\) - это часть угла \(\angle K\).
18. В параллелограмме \(MFKS\), \(\angle K = 38^\circ\). \(\angle F = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\).
19. Рассмотрим \(\triangle FSK\). По теореме синусов для \(\triangle FSK\): \(\frac{FS}{\sin \angle FKS} = \frac{SK}{\sin \angle SFO} = \frac{FK}{\sin \angle FSK}\).
20. У нас есть отношение сторон \(MF : MK = 1 : 2\). Это означает, что \(SK : FS = 1 : 2\).
21. В \(\triangle FSK\), \(\angle FSK = \angle F = 142^\circ\).
22. Угол \(\angle SKM = 38^\circ\). Это \(\angle K\) параллелограмма.
23. Рассмотрим \(\triangle FOK\). Угол \(\angle FOK\) - это угол между диагоналями. Угол \(\angle OFK\) и \(\angle OKF\) - это части углов параллелограмма.
24. В \(\triangle FOK\), \(\angle FOK = 180^\circ - (\angle OFK + \angle OKF)\).
25. Угол \(\angle SKM = 38^\circ\). Это \(\angle K\). Угол \(\angle F = 142^\circ\).
26. Рассмотрим \(\triangle FSM\). Стороны \(FS = MK = 2x\), \(SM\) - диагональ. \(\angle FSM = \angle F = 142^\circ\).
27. Рассмотрим \(\triangle FKM\). Стороны \(FK\) - диагональ, \(KM = 2x\), \(MF = x\). \(\angle KMF\) и \(\angle KFM\) - это части углов параллелограмма.
28. Угол \(\angle SKM = 38^\circ\). Это \(\angle K\).
29. В \(\triangle FKM\), по теореме косинусов: \(FK^2 = MF^2 + MK^2 - 2 \cdot MF \cdot MK \cdot \cos \angle M\). \(FK^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \cos 142^\circ\).
Это не самый простой путь.
30. Давайте используем свойство, что угол между диагоналями параллелограмма равен углу между сторонами, если диагонали равны. Но здесь диагонали не равны.
31. Рассмотрим \(\triangle FOK\). Угол \(\angle FOK\) - это угол между диагоналями. Угол \(\angle KFO\) - это часть угла \(\angle F\). Угол \(\angle FKO\) - это часть угла \(\angle K\).
32. В параллелограмме \(MFKS\), \(\angle K = 38^\circ\). \(\angle F = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\).
33. Рассмотрим \(\triangle FSK\). Стороны \(FS = MK = 2x\), \(SK = MF = x\).
34. В \(\triangle FSK\), по теореме синусов: \(\frac{SK}{\sin \angle SFO} = \frac{FS}{\sin \angle FKO}\).
\(\frac{x}{\sin \angle SFO} = \frac{2x}{\sin \angle FKO}\).
\(\sin \angle FKO = 2 \sin \angle SFO\).
35. Угол \(\angle FSK = \angle F = 142^\circ\).
36. Сумма углов в \(\triangle FSK\): \(\angle FSK + \angle SKF + \angle KFS = 180^\circ\).
\(142^\circ + \angle SKF + \angle KFS = 180^\circ\).
\(\angle SKF + \angle KFS = 38^\circ\).
37. Угол \(\angle SKM = 38^\circ\). Это \(\angle K\).
38. Угол \(\angle FSM = \angle F = 142^\circ\).
39. Рассмотрим \(\triangle FSM\). Стороны \(FS = 2x\), \(SM\) - диагональ, \(MF = x\).
40. Угол \(\angle FSM = 142^\circ\).
41. По теореме синусов в \(\triangle FSM\): \(\frac{MF}{\sin \angle FSM} = \frac{FS}{\sin \angle FMS}\).
\(\frac{x}{\sin \angle FSM} = \