Решение задач 6 и 7 с подробным объяснением

Вот решения задач с подробными объяснениями, чтобы было удобно переписать в тетрадь.
6. Найдите значение выражения \[ \frac{24}{25} - \frac{3}{4} \] Решение: Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 25 и 4 равен 100. Для первой дроби: \[ \frac{24}{25} = \frac{24 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{96}{100} \] Для второй дроби: \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} \] Теперь вычтем дроби: \[ \frac{96}{100} - \frac{75}{100} = \frac{96 - 75}{100} = \frac{21}{100} \] Можно также записать ответ в виде десятичной дроби: \[ \frac{21}{100} = 0,21 \] Ответ: 0,21
7. Какому промежутку принадлежит число \( \sqrt{132} \) ? 1) [10; 11] 2) [11; 12] 3) [12; 13] 4) [13; 14] Решение: Чтобы определить, какому промежутку принадлежит число \( \sqrt{132} \), нужно найти ближайшие целые числа, квадраты которых находятся рядом с 132. Рассмотрим квадраты целых чисел: \( 10^2 = 100 \) \( 11^2 = 121 \) \( 12^2 = 144 \) Мы видим, что \( 121 < 132 < 144 \). Из этого следует, что \( \sqrt{121} < \sqrt{132} < \sqrt{144} \). То есть, \( 11 < \sqrt{132} < 12 \). Значит, число \( \sqrt{132} \) принадлежит промежутку [11; 12]. Ответ: 2
8. Найдите значение выражения \( (\sqrt{99} + \sqrt{44}) \cdot \sqrt{11} \) Решение: Сначала упростим выражения под корнями: \( \sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11} \) \( \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{11} = 2\sqrt{11} \) Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \( (3\sqrt{11} + 2\sqrt{11}) \cdot \sqrt{11} \) Сложим слагаемые в скобках: \( (3\sqrt{11} + 2\sqrt{11}) = 5\sqrt{11} \) Теперь умножим: \( 5\sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 5 \cdot (\sqrt{11})^2 = 5 \cdot 11 = 55 \) Ответ: 55
9. Решите уравнение \( 4x^2 + 8x - 60 = 0 \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. Решение: Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \). Здесь \( a = 4 \), \( b = 8 \), \( c = -60 \). Можно упростить уравнение, разделив все члены на 4: \( \frac{4x^2}{4} + \frac{8x}{4} - \frac{60}{4} = 0 \) \( x^2 + 2x - 15 = 0 \) Теперь найдем корни с помощью формулы дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \) В упрощенном уравнении \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -15 \). \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 - (-60) = 4 + 60 = 64 \) Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \) Меньший из корней равен -5. Ответ: -5
10. В среднем из 240 карманных фонариков, поступивших в продажу, двенадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен. Решение: Общее количество фонариков = 240. Количество неисправных фонариков = 12. Количество исправных фонариков = Общее количество - Количество неисправных Количество исправных фонариков = \( 240 - 12 = 228 \). Вероятность того, что выбранный фонарик окажется исправен, равна отношению количества исправных фонариков к общему количеству фонариков: \[ P(\text{исправен}) = \frac{\text{Количество исправных фонариков}}{\text{Общее количество фонариков}} \] \[ P(\text{исправен}) = \frac{228}{240} \] Упростим дробь. Разделим числитель и знаменатель на общий делитель. Оба числа делятся на 12: \( 228 \div 12 = 19 \) \( 240 \div 12 = 20 \) Значит, \( P(\text{исправен}) = \frac{19}{20} \). В десятичной дроби это будет: \( \frac{19}{20} = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0,95 \) Ответ: 0,95
11. Установите соответствие между функциями и их графиками (см. рис. 20). ФУНКЦИИ А) \( y = \frac{4}{x} \) Б) \( y = -\frac{4}{x} \) В) \( y = -\frac{1}{4x} \) ГРАФИКИ 1) (график гиперболы в I и III четвертях) 2) (график гиперболы в II и IV четвертях) 3) (график гиперболы в II и IV четвертях, но "ближе" к осям, чем график 2) Решение: Рассмотрим каждую функцию: Функция А) \( y = \frac{4}{x} \). Это гипербола. Так как коэффициент перед \( \frac{1}{x} \) положительный (4), ветви гиперболы расположены в I и III четвертях. Смотрим на графики: График 1 соответствует этому описанию. Функция Б) \( y = -\frac{4}{x} \). Это гипербола. Так как коэффициент перед \( \frac{1}{x} \) отрицательный (-4), ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Смотрим на графики: Графики 2 и 3 расположены во II и IV четвертях. Нужно определить, какой из них соответствует \( y = -\frac{4}{x} \). Для \( y = -\frac{4}{x} \), если \( x = 1 \), то \( y = -4 \). Если \( x = 4 \), то \( y = -1 \). Для \( y = -\frac{1}{4x} \), если \( x = 1 \), то \( y = -\frac{1}{4} \). Если \( x = 4 \), то \( y = -\frac{1}{16} \). График 2 проходит через точку (1; -4) (или близко к ней, судя по масштабу). График 3 проходит через точку (1; -1/4) (или близко к ней). Значит, график 2 соответствует функции Б. Функция В) \( y = -\frac{1}{4x} \). Это гипербола. Коэффициент перед \( \frac{1}{x} \) отрицательный \( -\frac{1}{4} \), поэтому ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Как мы определили выше, график 3 соответствует этой функции, так как он "ближе" к осям, чем график 2, что означает меньшее абсолютное значение коэффициента. Соответствие: А - 1 Б - 2 В - 3 Ответ: А | Б | В --|---|-- 1 | 2 | 3
12. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в значение по шкале Фаренгейта, пользуются формулой \( t_F = 1,8t_C + 32 \), где \( t_C \) — температура в градусах Цельсия, \( t_F \) — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует \( 311^\circ \) по шкале Фаренгейта? Решение: Дана формула: \( t_F = 1,8t_C + 32 \). Известно, что \( t_F = 311^\circ \). Нужно найти \( t_C \). Подставим значение \( t_F \) в формулу: \( 311 = 1,8t_C + 32 \) Теперь решим уравнение относительно \( t_C \). Вычтем 32 из обеих частей уравнения: \( 311 - 32 = 1,8t_C \) \( 279 = 1,8t_C \) Разделим обе части на 1,8: \( t_C = \frac{279}{1,8} \) Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10: \( t_C = \frac{2790}{18} \) Выполним деление: \( 2790 \div 18 \) \( 2790 / 18 = 155 \) Значит, \( t_C = 155^\circ \). Ответ: 155
13. Решите неравенство \( 5x + 3(x + 12) > 6 \). 1) (3,75; +∞) 2) (-∞; 3,75) 3) (-3,75; +∞) 4) (-∞; -3,75) Решение: Раскроем скобки: \( 5x + 3x + 3 \cdot 12 > 6 \) \( 5x + 3x + 36 > 6 \) Приведем подобные члены: \( 8x + 36 > 6 \) Перенесем 36 в правую часть неравенства, изменив знак: \( 8x > 6 - 36 \) \( 8x > -30 \) Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 - положительное число, знак неравенства не меняется: \( x > \frac{-30}{8} \) Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \( x > -\frac{15}{4} \) Переведем в десятичную дробь: \( x > -3,75 \) Это означает, что \( x \) принадлежит промежутку от -3,75 до плюс бесконечности, не включая -3,75. В виде интервала это записывается как \( (-3,75; +\infty) \). Ответ: 3
14. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 8 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд? Решение: Это задача на арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии \( a_1 = 7 \) (метры, пролетевшие за первую секунду). Разность прогрессии \( d = 8 \) (на сколько метров больше пролетает в каждую следующую секунду). Нужно найти сумму первых шести членов прогрессии, то есть \( S_6 \). Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Найдем шестой член прогрессии \( a_6 \): \( a_6 = 7 + (6-1) \cdot 8 = 7 + 5 \cdot 8 = 7 + 40 = 47 \) метров. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \). Найдем сумму первых шести членов \( S_6 \): \( S_6 = \frac{(7 + 47) \cdot 6}{2} = \frac{54 \cdot 6}{2} = 54 \cdot 3 = 162 \) метров. Ответ: 162
15. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны (см. рис. 21). Найдите угол \( \alpha \). Ответ дайте в градусах. Решение: На рисунке 21 изображены две пересекающиеся прямые. Углы, отмеченные одной дугой, являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны. Один из углов равен \( 48^\circ \). Угол \( \alpha \) является смежным с углом \( 48^\circ \). Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \). Значит, \( \alpha + 48^\circ = 180^\circ \). \( \alpha = 180^\circ - 48^\circ \) \( \alpha = 132^\circ \) Ответ: 132
16. В окружности с центром в точке \( O \) проведены диаметры \( MN \) и \( KL \), угол \( OKN \) равен \( 44^\circ \) (см. рис. 22). Найдите градусную меру угла \( OML \). Решение: На рисунке 22 изображена окружность с центром \( O \). \( MN \) и \( KL \) - диаметры. Угол \( OKN = 44^\circ \). Рассмотрим треугольник \( OKN \). \( OK \) и \( ON \) - радиусы окружности, поэтому \( OK = ON \). Значит, треугольник \( OKN \) равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании \( KN \) - это \( OKN \) и \( ONK \). Следовательно, \( \angle ONK = \angle OKN = 44^\circ \). Угол \( OML \). Рассмотрим треугольник \( OML \). \( OM \) и \( OL \) - радиусы окружности, поэтому \( OM = OL \). Значит, треугольник \( OML \) равнобедренный. Углы при основании \( ML \) - это \( OML \) и \( OLM \). Следовательно, \( \angle OML = \angle OLM \). Углы \( \angle KON \) и \( \angle MOL \) являются вертикальными углами, так как \( MN \) и \( KL \) - прямые, пересекающиеся в точке \( O \). Вертикальные углы равны, поэтому \( \angle MOL = \angle KON \). В треугольнике \( OKN \) сумма углов равна \( 180^\circ \): \( \angle KON = 180^\circ - \angle OKN - \angle ONK = 180^\circ - 44^\circ - 44^\circ = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ \). Значит, \( \angle MOL = 92^\circ \). Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник \( OML \). Сумма углов равна \( 180^\circ \): \( \angle OML + \angle OLM + \angle MOL = 180^\circ \) Так как \( \angle OML = \angle OLM \), обозначим их как \( x \): \( x + x + 92^\circ = 180^\circ \) \( 2x = 180^\circ - 92^\circ \) \( 2x = 88^\circ \) \( x = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ \) Таким образом, \( \angle OML = 44^\circ \). Ответ: 44
17.