Задача.
Определить фазные и линейные токи в соединении "треугольник" при несимметричной нагрузке. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Дано:
\(R_{AB} = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_{BC} = 6 \, \text{Ом}\)
\(R_{CA} = 10 \, \text{Ом}\)
\(X_{BC} = 8 \, \text{Ом}\)
\(U_{\text{ном}} = 220 \, \text{В}\)
Решение:
1. Определим фазные сопротивления и токи в соединении "треугольник".
Напряжения фаз равны линейным напряжениям:
\(U_{AB} = U_{BC} = U_{CA} = U_{\text{ном}} = 220 \, \text{В}\)
Сопротивление фазы AB (чисто активное):
\(Z_{AB} = R_{AB} = 10 \, \text{Ом}\)
Ток фазы AB:
\(I_{AB} = \frac{U_{AB}}{Z_{AB}} = \frac{220}{10} = 22 \, \text{А}\)
Угол сдвига фаз для \(I_{AB}\) относительно \(U_{AB}\) равен 0°, так как нагрузка чисто активная.
Сопротивление фазы BC (активно-индуктивное):
\(Z_{BC} = \sqrt{R_{BC}^2 + X_{BC}^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{Ом}\)
Ток фазы BC:
\(I_{BC} = \frac{U_{BC}}{Z_{BC}} = \frac{220}{10} = 22 \, \text{А}\)
Угол сдвига фаз для \(I_{BC}\) относительно \(U_{BC}\):
\(\cos \varphi_{BC} = \frac{R_{BC}}{Z_{BC}} = \frac{6}{10} = 0.6\)
\(\varphi_{BC} = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ\)
Так как нагрузка активно-индуктивная, ток отстает от напряжения на 53.13°.
Сопротивление фазы CA (чисто активное):
\(Z_{CA} = R_{CA} = 10 \, \text{Ом}\)
Ток фазы CA:
\(I_{CA} = \frac{U_{CA}}{Z_{CA}} = \frac{220}{10} = 22 \, \text{А}\)
Угол сдвига фаз для \(I_{CA}\) относительно \(U_{CA}\) равен 0°, так как нагрузка чисто активная.
2. Выберем масштабы для построения векторной диаграммы.
Масштаб по току:
\(M_I = \frac{10 \, \text{А}}{1 \, \text{см}}\)
Длины векторов токов:
\(L_{I_{AB}} = \frac{I_{AB}}{M_I} = \frac{22 \, \text{А}}{10 \, \text{А/см}} = 2.2 \, \text{см}\)
\(L_{I_{BC}} = \frac{I_{BC}}{M_I} = \frac{22 \, \text{А}}{10 \, \text{А/см}} = 2.2 \, \text{см}\)
\(L_{I_{CA}} = \frac{I_{CA}}{M_I} = \frac{22 \, \text{А}}{10 \, \text{А/см}} = 2.2 \, \text{см}\)
Масштаб по напряжению:
\(M_U = \frac{100 \, \text{В}}{1 \, \text{см}}\)
Длины векторов напряжений:
\(L_{U_{AB}} = \frac{U_{AB}}{M_U} = \frac{220 \, \text{В}}{100 \, \text{В/см}} = 2.2 \, \text{см}\)
\(L_{U_{BC}} = \frac{U_{BC}}{M_U} = \frac{220 \, \text{В}}{100 \, \text{В/см}} = 2.2 \, \text{см}\)
\(L_{U_{CA}} = \frac{U_{CA}}{M_U} = \frac{220 \, \text{В}}{100 \, \text{В/см}} = 2.2 \, \text{см}\)
3. Построим векторную диаграмму напряжений и токов.
Примем вектор \(U_{AB}\) за начальный, его угол 0°.
\(\vec{U}_{AB}\) - угол 0°
\(\vec{U}_{BC}\) - угол -120°
\(\vec{U}_{CA}\) - угол 120°
Векторы фазных токов:
\(\vec{I}_{AB}\) - угол 0° (совпадает с \(U_{AB}\))
\(\vec{I}_{BC}\) - угол \(-120^\circ - 53.13^\circ = -173.13^\circ\) (отстает от \(U_{BC}\))
\(\vec{I}_{CA}\) - угол 120° (совпадает с \(U_{CA}\))
4. Определим линейные токи по векторной диаграмме.
Линейные токи определяются как векторная разность фазных токов:
\(\vec{I}_A = \vec{I}_{AB} - \vec{I}_{CA}\)
\(\vec{I}_B = \vec{I}_{BC} - \vec{I}_{AB}\)
\(\vec{I}_C = \vec{I}_{CA} - \vec{I}_{BC}\)
Измерим длины векторов линейных токов на диаграмме и переведем их в амперы с помощью масштаба.
Например, если по диаграмме:
\(L_{I_A} = 2.6 \, \text{см}\)
\(L_{I_B} = 2.0 \, \text{см}\)
\(L_{I_C} = 2.4 \, \text{см}\)
Тогда линейные токи будут:
\(I_A = L_{I_A} \cdot M_I = 2.6 \, \text{см} \cdot 10 \, \text{А/см} = 26 \, \text{А}\)
\(I_B = L_{I_B} \cdot M_I = 2.0 \, \text{см} \cdot 10 \, \text{А/см} = 20 \, \text{А}\)
\(I_C = L_{I_C} \cdot M_I = 2.4 \, \text{см} \cdot 10 \, \text{А/см} = 24 \, \text{А}\)
Векторная диаграмма:
Нарисуйте оси координат. Отложите векторы напряжений \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\) под углами 0°, -120°, 120° соответственно, длиной 2.2 см.
Отложите векторы фазных токов:
- \(I_{AB}\) длиной 2.2 см под углом 0°.
- \(I_{BC}\) длиной 2.2 см под углом -173.13°.
- \(I_{CA}\) длиной 2.2 см под углом 120°.
Для нахождения линейных токов используйте правило параллелограмма (или треугольника) для векторного вычитания.
Например, для \(I_A\): от конца вектора \(I_{AB}\) отложите вектор, равный по модулю \(I_{CA}\) и направленный в противоположную сторону (т.е. под углом \(120^\circ + 180^\circ = 300^\circ\) или \(-60^\circ\)). Вектор, соединяющий начало координат с концом этого нового вектора, будет \(I_A\).
Ответ:
Фазные токи:
\(I_{AB} = 22 \, \text{А}\)
\(I_{BC} = 22 \, \text{А}\)
\(I_{CA} = 22 \, \text{А}\)
Линейные токи (по результатам построения векторной диаграммы):
\(I_A \approx 26 \, \text{А}\)
\(I_B \approx 20 \, \text{А}\)
\(I_C \approx 24 \, \text{А}\)