Решение задачи Коши: y'' - 12y' + 37y = 0

Решение задачи Коши. Задание: Решите задачу Коши \[ y'' - 12y' + 37y = 0, \quad y(0) = 4, \quad y'(0) = -2 \] Решение: 1. Найдем общее решение однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 12k + 37 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 144 - 148 = -4 \] Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными: \[ k_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{12 \pm 2i}{2} = 6 \pm i \] Здесь \(\alpha = 6\), \(\beta = 1\). 2. Согласно таблице 1 (пункт 2), фундаментальная система решений имеет вид: \[ y_1 = e^{6x} \cos(x), \quad y_2 = e^{6x} \sin(x) \] Общее решение уравнения: \[ y = e^{6x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \] 3. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, найдем производную общего решения: \[ y' = (e^{6x})' (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) + e^{6x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))' \] \[ y' = 6e^{6x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) + e^{6x} (-C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)) \] \[ y' = e^{6x} [ (6C_1 + C_2) \cos(x) + (6C_2 - C_1) \sin(x) ] \] 4. Подставим начальные условия \(y(0) = 4\) и \(y'(0) = -2\): При \(x = 0\): \[ y(0) = e^0 (C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = 1 \cdot (C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) = C_1 \] Значит, \(C_1 = 4\). При \(x = 0\) для производной: \[ y'(0) = e^0 [ (6C_1 + C_2) \cos(0) + (6C_2 - C_1) \sin(0) ] = 1 \cdot [ (6C_1 + C_2) \cdot 1 + 0 ] = 6C_1 + C_2 \] Подставляем значения: \[ -2 = 6 \cdot 4 + C_2 \] \[ -2 = 24 + C_2 \] \[ C_2 = -2 - 24 = -26 \] 5. Записываем искомое частное решение: \[ y = e^{6x} (4 \cos(x) - 26 \sin(x)) \] Ответ: \(y = e^{6x} (4 \cos(x) - 26 \sin(x))\)