Решение: Решить по примеру

Решим задачу №5 по образцу, представленному на ваших скриншотах. Задание: Найти общее решение уравнения методом неопределенных коэффициентов: \[ y'' + 4y' + 3y = -xe^{-x} \] Решение: 1. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения: \[ y'' + 4y' + 3y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 4k + 3 = 0 \] По теореме Виета или через дискриминант находим корни: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] \[ k_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1, \quad k_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \] Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ \bar{y} = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} \] 2. Ищем частное решение \( y^* \) по виду правой части \( f(x) = -xe^{-x} \). Так как число \( \alpha = -1 \) в показателе экспоненты совпадает с одним из корней характеристического уравнения (\( k_1 = -1 \)), то в частном решении появляется дополнительный множитель \( x \). Ищем частное решение в виде: \[ y^* = x \cdot (Ax + B)e^{-x} = (Ax^2 + Bx)e^{-x} \] 3. Дифференцируем выражение для \( y^* \): \[ (y^*)' = (2Ax + B)e^{-x} - (Ax^2 + Bx)e^{-x} = (-Ax^2 + (2A - B)x + B)e^{-x} \] \[ (y^*)'' = (-2Ax + 2A - B)e^{-x} - (-Ax^2 + (2A - B)x + B)e^{-x} = \] \[ = (Ax^2 + (-4A + B)x + 2A - 2B)e^{-x} \] 4. Подставим \( y^* \), \( (y^*)' \) и \( (y^*)'' \) в исходное уравнение и сократим на \( e^{-x} \): \[ (Ax^2 + (-4A + B)x + 2A - 2B) + 4(-Ax^2 + (2A - B)x + B) + 3(Ax^2 + Bx) = -x \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые при степенях \( x \): При \( x^2 \): \( A - 4A + 3A = 0 \) (верно) При \( x^1 \): \( -4A + B + 8A - 4B + 3B = -1 \Rightarrow 4A = -1 \Rightarrow A = -1/4 \) При \( x^0 \): \( 2A - 2B + 4B = 0 \Rightarrow 2A + 2B = 0 \Rightarrow B = -A = 1/4 \) Получаем частное решение: \[ y^* = \left( -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x \right)e^{-x} \] 5. Записываем общее решение исходного уравнения: \[ y = \bar{y} + y^* \] \[ y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} + \left( \frac{x - x^2}{4} \right)e^{-x} \] Ответ: \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} + \frac{x - x^2}{4}e^{-x} \)