Решение задачи: Решение треугольников (9 класс)

Решение задач на тему «Решение треугольников» (9 класс). Задача 1. Дано: \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\), \(AB = 5\). Найти: \(\angle C\), \(BC\), \(AC\). Решение: 1) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). \[\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ\] 2) По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\). \[BC = \frac{AB \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}\] Используя значение \(\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) \approx 0,966\): \[BC = \frac{5 \cdot 0,5}{0,966} \approx 2,59\] 3) По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\). \[AC = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{5 \cdot 0,707}{0,966} \approx 3,66\] Ответ: \(\angle C = 105^\circ\), \(BC \approx 2,59\), \(AC \approx 3,66\). Задача 2. Дано: \(\angle A = 65^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\), \(AB = 15\). Найти: \(\angle B\), \(BC\), \(AC\). Решение: 1) \(\angle B = 180^\circ - (65^\circ + 60^\circ) = 55^\circ\). 2) По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\). \[BC = \frac{15 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,906}{0,866} \approx 15,69\] 3) По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\). \[AC = \frac{15 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,819}{0,866} \approx 14,19\] Ответ: \(\angle B = 55^\circ\), \(BC \approx 15,69\), \(AC \approx 14,19\). Задача 3. Дано: \(\angle B = 60^\circ\), \(AB = 14\), \(BC = 20\). Найти: \(AC\), \(\angle A\), \(\angle C\). Решение: 1) По теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\). \[AC^2 = 14^2 + 20^2 - 2 \cdot 14 \cdot 20 \cdot \cos 60^\circ\] \[AC^2 = 196 + 400 - 560 \cdot 0,5 = 596 - 280 = 316\] \[AC = \sqrt{316} \approx 17,78\] 2) По теореме косинусов найдем \(\angle A\): \[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{14^2 + 17,78^2 - 20^2}{2 \cdot 14 \cdot 17,78} \approx \frac{196 + 316,1 - 400}{497,8} \approx 0,225\] \[\angle A \approx \arccos(0,225) \approx 77^\circ\] 3) \(\angle C = 180^\circ - (60^\circ + 77^\circ) = 43^\circ\). Ответ: \(AC \approx 17,78\), \(\angle A \approx 77^\circ\), \(\angle C \approx 43^\circ\). Задача 4. Дано: \(\angle B = 80^\circ\), \(AB = 15\), \(BC = 19\). Найти: \(AC\), \(\angle A\), \(\angle C\). Решение: 1) По теореме косинусов: \[AC^2 = 15^2 + 19^2 - 2 \cdot 15 \cdot 19 \cdot \cos 80^\circ\] \[AC^2 = 225 + 361 - 570 \cdot 0,1736 \approx 586 - 98,95 = 487,05\] \[AC = \sqrt{487,05} \approx 22,07\] 2) По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\). \[\sin A = \frac{19 \cdot \sin 80^\circ}{22,07} \approx \frac{19 \cdot 0,9848}{22,07} \approx 0,8478\] \[\angle A \approx 58^\circ\] 3) \(\angle C = 180^\circ - (80^\circ + 58^\circ) = 42^\circ\). Ответ: \(AC \approx 22,07\), \(\angle A \approx 58^\circ\), \(\angle C \approx 42^\circ\). Задача 5. Дано: \(AB = 2\), \(BC = 3\), \(AC = 4\). Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\). Решение: 1) По теореме косинусов: \[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16} = 0,6875\] \[\angle A \approx 46,57^\circ\] 2) \[\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = -\frac{3}{12} = -0,25\] \[\angle B \approx 104,48^\circ\] 3) \(\angle C = 180^\circ - (46,57^\circ + 104,48^\circ) = 28,95^\circ\). Ответ: \(\angle A \approx 46,6^\circ\), \(\angle B \approx 104,5^\circ\), \(\angle C \approx 28,9^\circ\).