Решение задачи по матрицам (Вариант 2)

Ниже представлено решение заданий Варианта 2, оформленное для записи в тетрадь. Вариант 2 № 1. Найдите разность матриц \(A - B\), если: \[A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] Решение: Чтобы найти разность матриц, нужно вычесть соответствующие элементы матрицы \(B\) из элементов матрицы \(A\): \[A - B = \begin{pmatrix} -1 - 1 & 3 - (-2) & 1 - (-1) \\ 2 - 5 & -6 - (-5) & 0 - 5 \\ 4 - 2 & 1 - 1 & 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 2 \\ -3 & -1 & -5 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\] Ответ: \(\begin{pmatrix} -2 & 5 & 2 \\ -3 & -1 & -5 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\) № 2. Найдите линейную комбинацию матриц \(4A + 2B\), если: \[A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 5 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] Решение: 1) Умножим матрицу \(A\) на 4: \[4A = \begin{pmatrix} 4 \cdot (-1) & 4 \cdot 3 & 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot (-2) & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 4 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 12 & 4 \\ 8 & -8 & 0 \\ 16 & 4 & 12 \end{pmatrix}\] 2) Умножим матрицу \(B\) на 2: \[2B = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot (-2) & 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 5 & 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -2 \\ 10 & 8 & 10 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}\] 3) Сложим полученные результаты: \[4A + 2B = \begin{pmatrix} -4 + 2 & 12 + (-4) & 4 + (-2) \\ 8 + 10 & -8 + 8 & 0 + 10 \\ 16 + 4 & 4 + 2 & 12 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 2 \\ 18 & 0 & 10 \\ 20 & 6 & 12 \end{pmatrix}\] Ответ: \(\begin{pmatrix} -2 & 8 & 2 \\ 18 & 0 & 10 \\ 20 & 6 & 12 \end{pmatrix}\) № 3. Найдите произведение матриц \(A\) и \(B\), если: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] Решение: Для умножения матриц используем правило «строка на столбец». Результирующая матрица будет иметь размер \(2 \times 2\). \[C = A \cdot B = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}\] \[c_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 0 - 2 + 3 = 1\] \[c_{12} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 1 = 3 - 10 + 3 = -4\] \[c_{21} = 0 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 0 - 3 + 2 = -1\] \[c_{22} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot (-5) + 2 \cdot 1 = 0 - 15 + 2 = -13\] \[A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & -13 \end{pmatrix}\] Ответ: \(\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & -13 \end{pmatrix}\)