Решение задачи из билета №3

Ниже представлено подробное решение задач из экзаменационного билета № 3, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Условие: Всего 12 ящиков, из них 6 с фруктами (и 6 без фруктов). Выбирают 4 ящика. Найти вероятность, что среди них не более одного ящика с фруктами. Решение: Событие А — "среди 4 ящиков не более одного с фруктами" означает, что ящиков с фруктами либо 0, либо 1. Общее число способов выбрать 4 ящика из 12: \[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \] 1) Число способов выбрать 0 ящиков с фруктами (все 4 без фруктов): \[ m_0 = C_6^0 \cdot C_6^4 = 1 \cdot \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15 \] 2) Число способов выбрать 1 ящик с фруктами (и 3 без фруктов): \[ m_1 = C_6^1 \cdot C_6^3 = 6 \cdot \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 6 \cdot 20 = 120 \] Благоприятное число исходов: \[ m = m_0 + m_1 = 15 + 120 = 135 \] Искомая вероятность: \[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{135}{495} = \frac{3}{11} \approx 0,2727 \] Ответ: 3/11. Задача 2. Условие: Три фабрики. Доли: 20%, 46%, 34%. Брак: 3%, 2%, 1%. Найти вероятность, что деталь с 1-й фабрики, если она бракованная. Решение: Пусть \( H_1, H_2, H_3 \) — гипотезы, что изделие произведено на 1, 2 и 3 фабрике соответственно. \[ P(H_1) = 0,20; \quad P(H_2) = 0,46; \quad P(H_3) = 0,34 \] Вероятности брака для каждой фабрики: \[ P(A|H_1) = 0,03; \quad P(A|H_2) = 0,02; \quad P(A|H_3) = 0,01 \] Полная вероятность брака: \[ P(A) = 0,2 \cdot 0,03 + 0,46 \cdot 0,02 + 0,34 \cdot 0,01 = 0,006 + 0,0092 + 0,0034 = 0,0186 \] По формуле Байеса вероятность того, что брак с 1-й фабрики: \[ P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)} = \frac{0,006}{0,0186} = \frac{60}{186} = \frac{10}{31} \approx 0,3226 \] Ответ: 10/31. Задача 3. Условие: На АВ 2 препятствия, вероятность остановки на каждом 0,1. На ВС вероятность проезда без остановок 0,7. Найти вероятность ровно одной остановки на АС. Решение: Участок АС состоит из АВ и ВС. На АВ возможны остановки: \( P(0_{AB}) = 0,9 \cdot 0,9 = 0,81 \) (нет остановок) \( P(1_{AB}) = 2 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 0,18 \) (одна остановка) На ВС: \( P(0_{BC}) = 0,7 \) (нет остановок) \( P(1+_{BC}) = 1 - 0,7 = 0,3 \) (хотя бы одна остановка) Событие "ровно одна остановка на АС" возможно в двух случаях: 1) Одна на АВ и ноль на ВС: \( 0,18 \cdot 0,7 = 0,126 \) 2) Ноль на АВ и одна на ВС. В условии не сказано распределение на ВС, но если предположить, что на ВС только одно препятствие (или рассматривается событие "наличие остановки"), то: \[ P = 0,18 \cdot 0,7 + 0,81 \cdot 0,3 = 0,126 + 0,243 = 0,369 \] Ответ: 0,369. Задача 4. Условие: 4 ключа, один подходит. Миша пробует их по одному без возвращения. Х — число испытаний. Решение: Вероятности для Х: \( P(X=1) = 1/4 = 0,25 \) \( P(X=2) = (3/4) \cdot (1/3) = 1/4 = 0,25 \) \( P(X=3) = (3/4) \cdot (2/3) \cdot (1/2) = 1/4 = 0,25 \) \( P(X=4) = (3/4) \cdot (2/3) \cdot (1/2) \cdot 1 = 1/4 = 0,25 \) Ряд распределения: X: 1; 2; 3; 4 P: 0,25; 0,25; 0,25; 0,25 Математическое ожидание: \[ M(X) = 1 \cdot 0,25 + 2 \cdot 0,25 + 3 \cdot 0,25 + 4 \cdot 0,25 = 2,5 \] Дисперсия: \[ M(X^2) = 1^2 \cdot 0,25 + 2^2 \cdot 0,25 + 3^2 \cdot 0,25 + 4^2 \cdot 0,25 = 0,25(1+4+9+16) = 7,5 \] \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 7,5 - (2,5)^2 = 7,5 - 6,25 = 1,25 \] Ответ: M(X)=2,5; D(X)=1,25. Задача 5. Условие: \( F(x) = ax^2 \) при \( 0 < x \le 1 \). Решение: 1) Найдем \( a \). Так как \( F(1) = 1 \), то \( a \cdot 1^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \). 2) Плотность распределения \( f(x) = F'(x) \): \[ f(x) = 2x \text{ при } 0 < x \le 1, \text{ иначе } 0. \] 3) Вероятность попадания в (1, 3): Так как при \( x > 1 \) \( F(x) = 1 \), то \( P(1 < X < 3) = F(3) - F(1) = 1 - 1 = 0 \). 4) Математическое ожидание: \[ M(X) = \int_0^1 x \cdot 2x dx = \int_0^1 2x^2 dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \] 5) Дисперсия: \[ M(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 2x dx = \int_0^1 2x^3 dx = \left[ \frac{2x^4}{4} \right]_0^1 = 0,5 \] \[ D(X) = 0,5 - (2/3)^2 = 1/2 - 4/9 = 1/18 \] Задача 6. Решение: Объем выборки: \( n = 5 + 15 + 40 + 25 + 8 = 93 \). а) Выборочная средняя: \[ \bar{x}_b = \frac{12,5 \cdot 5 + 13 \cdot 15 + 13,5 \cdot 40 + 14 \cdot 25 + 14,5 \cdot 8}{93} = \frac{62,5 + 195 + 540 + 350 + 116}{93} = \frac{1263,5}{93} \approx 13,586 \] б) Выборочная дисперсия: \[ D_b = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x}_b)^2 \approx 184,85 - 184,58 = 0,27 \] \[ \sigma_b = \sqrt{D_b} \approx 0,52 \] в) Доверительный интервал для \( a \) при \( \gamma = 0,95 \): Используем формулу \( \bar{x}_b - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < a < \bar{x}_b + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \). Для \( \gamma = 0,95 \), \( t = 1,96 \). (Если \( \sigma \) берем как \( \sigma_b \)): \[ \Delta = 1,96 \cdot \frac{0,52}{\sqrt{93}} \approx 1,96 \cdot 0,054 \approx 0,106 \] Интервал: \( (13,586 - 0,106; 13,586 + 0,106) \Rightarrow (13,48; 13,69) \).