Решение задачи из билета №2 по теории вероятностей

Ниже представлено подробное решение задач из экзаменационного билета № 2 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Задача 1. Условие: В библиотеку поступило 10 учебников, из них 6 старого издания. Какова вероятность, что среди четырех взятых наудачу учебников окажется не более одного учебника старого издания. Решение: Всего учебников \(N = 10\). Из них старого издания \(M = 6\), следовательно, нового издания \(10 - 6 = 4\). Выбирают \(n = 4\) учебника. Событие «не более одного старого издания» означает, что старых учебников либо 0, либо 1. Используем классическое определение вероятности и формулу сочетаний \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\). Общее число способов выбрать 4 учебника из 10: \[N_{total} = C_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\] 1) Случай 0 старых учебников (все 4 новые): \[m_0 = C_6^0 \cdot C_4^4 = 1 \cdot 1 = 1\] 2) Случай 1 старый учебник (и 3 новых): \[m_1 = C_6^1 \cdot C_4^3 = 6 \cdot 4 = 24\] Благоприятное число исходов: \(m = m_0 + m_1 = 1 + 24 = 25\). Искомая вероятность: \[P = \frac{m}{N_{total}} = \frac{25}{210} = \frac{5}{42} \approx 0,119\] Ответ: \(5/42\). Задача 2. Условие: Продукция высшего сорта составляет 30%. Некто приобрел 6 изделий. Чему равна вероятность того, что 4 из них высшего сорта? Решение: Используем формулу Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}\). Здесь \(n = 6\) (всего изделий), \(k = 4\) (нужное количество изделий высшего сорта). Вероятность изделия высшего сорта \(p = 0,3\), тогда \(q = 1 - 0,3 = 0,7\). \[P_6(4) = C_6^4 \cdot (0,3)^4 \cdot (0,7)^{6-4}\] \[C_6^4 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\] \[P_6(4) = 15 \cdot 0,0081 \cdot 0,49 = 15 \cdot 0,003969 = 0,059535\] Ответ: \(0,059535\). Задача 3. Условие: В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить норму: для лыжника 0,9; для велосипедиста 0,8; для бегуна 0,75. Вызванный спортсмен норму выполнил. Найти вероятность того, что это бегун. Решение: Используем формулу Байеса. Всего спортсменов: \(20 + 6 + 4 = 30\). Гипотезы: \(H_1\) — вызван лыжник, \(P(H_1) = 20/30 = 2/3\). \(H_2\) — вызван велосипедист, \(P(H_2) = 6/30 = 1/5\). \(H_3\) — вызван бегун, \(P(H_3) = 4/30 = 2/15\). Условные вероятности выполнения нормы: \(P(A|H_1) = 0,9\); \(P(A|H_2) = 0,8\); \(P(A|H_3) = 0,75\). Полная вероятность выполнения нормы: \[P(A) = \frac{2}{3} \cdot 0,9 + \frac{1}{5} \cdot 0,8 + \frac{2}{15} \cdot 0,75 = 0,6 + 0,16 + 0,1 = 0,86\] Вероятность того, что это был бегун: \[P(H_3|A) = \frac{P(H_3) \cdot P(A|H_3)}{P(A)} = \frac{0,1}{0,86} = \frac{10}{86} = \frac{5}{43} \approx 0,116\] Ответ: \(5/43\). Задача 5. Условие: Дана функция распределения \(F(x)\). Найти \(f(x)\), параметр \(a\), \(P(-1 < X < 0)\), \(M(X)\) и \(D(X)\). Решение: 1) Находим параметр \(a\) из условия непрерывности \(F(x)\) в точке \(x = 1/3\): \[a \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{4}\] Проверим в точке \(x = -1\): \(3/4 \cdot (-1) + 3/4 = 0\). Верно. 2) Плотность распределения \(f(x) = F'(x)\): \[f(x) = \begin{cases} 3/4, & -1 < x \le 1/3 \\ 0, & x \le -1, x > 1/3 \end{cases}\] Это равномерное распределение на отрезке \([-1; 1/3]\). 3) Вероятность \(P(-1 < X < 0)\): \[P(-1 < X < 0) = F(0) - F(-1) = (3/4 \cdot 0 + 3/4) - 0 = 3/4 = 0,75\] 4) Математическое ожидание для равномерного распределения на \([a; b]\): \[M(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{-1 + 1/3}{2} = \frac{-2/3}{2} = -1/3\] 5) Дисперсия: \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(1/3 - (-1))^2}{12} = \frac{(4/3)^2}{12} = \frac{16/9}{12} = \frac{16}{108} = \frac{4}{27}\] Ответ: \(a = 3/4\), \(M(X) = -1/3\), \(D(X) = 4/27\). Задача 6. Условие: По выборке найти выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и доверительный интервал. Решение: Объем выборки \(n = 3 + 6 + 8 + 10 + 7 = 34\). а) Выборочная средняя \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{5,0 \cdot 3 + 5,2 \cdot 6 + 5,4 \cdot 8 + 5,6 \cdot 10 + 5,8 \cdot 7}{34} = \frac{15 + 31,2 + 43,2 + 56 + 40,6}{34} = \frac{186}{34} \approx 5,47\] б) Выборочная дисперсия \(s^2\): \[s^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{n} - (\bar{x})^2\] \[\sum n_i x_i^2 = 3 \cdot 25 + 6 \cdot 27,04 + 8 \cdot 29,16 + 10 \cdot 31,36 + 7 \cdot 33,64 = 75 + 162,24 + 233,28 + 313,6 + 235,48 = 1019,6\] \[s^2 = \frac{1019,6}{34} - (5,47)^2 \approx 29,988 - 29,921 = 0,067\] Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma_x = \sqrt{0,067} \approx 0,259\). в) Доверительный интервал для \(M(X)\) при известном \(\sigma\) (примем \(\sigma \approx s\)): Для \(\gamma = 0,95\) критическое значение \(t = 1,96\). \[\Delta = t \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{0,259}{\sqrt{34}} \approx 1,96 \cdot \frac{0,259}{5,83} \approx 0,087\] Интервал: \((5,47 - 0,087; 5,47 + 0,087) = (5,383; 5,557)\).