Решение задачи: Исследование рядов на сходимость

Вот подробное решение задач из Варианта 1. Вариант 1. 1. С помощью подходящего признака исследовать на сходимость ряды: а) \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} \] Решение: Это обобщенный гармонический ряд вида \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p} \] В нашем случае \( p = \frac{1}{2} \). Известно, что обобщенный гармонический ряд сходится, если \( p > 1 \), и расходится, если \( p \le 1 \). Поскольку \( p = \frac{1}{2} \le 1 \), данный ряд расходится. Ответ: Ряд расходится. б) \[ \sum_{k=1}^{\infty} k^2 e^{-k^3} \] Решение: Применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 e^{-x^3} \). Эта функция положительна, непрерывна и монотонно убывает для \( x \ge 1 \). Вычислим несобственный интеграл: \[ \int_{1}^{\infty} x^2 e^{-x^3} dx \] Сделаем замену переменной: \( u = x^3 \), тогда \( du = 3x^2 dx \), или \( x^2 dx = \frac{1}{3} du \). При \( x=1 \), \( u=1^3=1 \). При \( x \to \infty \), \( u \to \infty \). \[ \int_{1}^{\infty} x^2 e^{-x^3} dx = \int_{1}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{1}^{\infty} e^{-u} du \] \[ = \frac{1}{3} \left[ -e^{-u} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{3} \left( \lim_{u \to \infty} (-e^{-u}) - (-e^{-1}) \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( 0 + e^{-1} \right) = \frac{1}{3e} \] Так как интеграл сходится (его значение равно \( \frac{1}{3e} \)), то по интегральному признаку Коши исходный ряд также сходится. Ответ: Ряд сходится. 2. Исследовать ряды на сходимость и абсолютную сходимость: а) \[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} \] Решение: Это знакопеременный ряд. Сначала исследуем его на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из абсолютных величин: \[ \sum_{k=2}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k+1} \right| = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k+1} \] Это гармонический ряд, который расходится. Можно сравнить его с рядом \( \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} \), который расходится. По признаку сравнения, так как \( \frac{1}{k+1} \sim \frac{1}{k} \) при больших \( k \), ряд \( \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k+1} \) расходится. Следовательно, исходный ряд не сходится абсолютно. Теперь исследуем ряд на условную сходимость с помощью признака Лейбница. Ряд имеет вид \( \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k b_k \), где \( b_k = \frac{1}{k+1} \). Проверим условия признака Лейбница: 1. \( b_k > 0 \) для всех \( k \ge 2 \). Это выполняется, так как \( \frac{1}{k+1} > 0 \). 2. Последовательность \( b_k \) монотонно убывает. \( b_k = \frac{1}{k+1} \). \( b_{k+1} = \frac{1}{(k+1)+1} = \frac{1}{k+2} \). Так как \( k+1 < k+2 \), то \( \frac{1}{k+1} > \frac{1}{k+2} \), то есть \( b_k > b_{k+1} \). Последовательность убывает. 3. \( \lim_{k \to \infty} b_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} = 0 \). Это выполняется. Все условия признака Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится. Поскольку ряд сходится, но не сходится абсолютно, он сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно. б) \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3} \] Решение: Это знакопеременный ряд. Сначала исследуем его на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из абсолютных величин: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^3} \] Применим признак сравнения. Сравним этот ряд с обобщенным гармоническим рядом \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} \). Для больших \( k \), \( (2k-1)^3 \approx (2k)^3 = 8k^3 \). Тогда \( \frac{1}{(2k-1)^3} \sim \frac{1}{8k^3} \). Ряд \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} \) сходится, так как \( p=3 > 1 \). По признаку сравнения, так как \( \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{1}{(2k-1)^3}}{\frac{1}{k^3}} = \lim_{k \to \infty} \frac{k^3}{(2k-1)^3} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k}{2k-1} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \ne 0 \), и ряд \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} \) сходится, то ряд \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^3} \) также сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Поскольку ряд сходится абсолютно, он также сходится. Ответ: Ряд сходится абсолютно. 3. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда \[ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^k}{k^2}(x+2)^k \], проверить его на сходимость и абсолютную сходимость на концах интервала сходимости. Решение: Дан степенной ряд вида \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k (x-x_0)^k \), где \( a_k = \frac{2^k}{k^2} \) и \( x_0 = -2 \). Найдем радиус сходимости \( R \) по формуле Даламбера: \[ R = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| \] \[ a_k = \frac{2^k}{k^2} \] \[ a_{k+1} = \frac{2^{k+1}}{(k+1)^2} \] \[ \frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{\frac{2^k}{k^2}}{\frac{2^{k+1}}{(k+1)^2}} = \frac{2^k}{k^2} \cdot \frac{(k+1)^2}{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{k+1}{k} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^2 \] \[ R = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^2 \right| = \frac{1}{2} \cdot (1+0)^2 = \frac{1}{2} \] Радиус сходимости \( R = \frac{1}{2} \). Интервал сходимости определяется неравенством \( |x-x_0| < R \). \[ |x - (-2)| < \frac{1}{2} \] \[ |x+2| < \frac{1}{2} \] \[ -\frac{1}{2} < x+2 < \frac{1}{2} \] Вычтем 2 из всех частей неравенства: \[ -\frac{1}{2} - 2 < x < \frac{1}{2} - 2 \] \[ -\frac{5}{2} < x < -\frac{3}{2} \] Интервал сходимости: \( \left( -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2} \right) \). Теперь проверим сходимость на концах интервала. Конец интервала 1: \( x = -\frac{5}{2} \) Подставим \( x = -\frac{5}{2} \) в исходный ряд: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \left( -\frac{5}{2} + 2 \right)^k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \left( -\frac{1}{2} \right)^k \] \[ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \frac{(-1)^k}{2^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} \] Это знакопеременный ряд. Исследуем его на абсолютную сходимость. Ряд из абсолютных величин: \( \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k^2} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \). Это обобщенный гармонический ряд с \( p=2 \). Так как \( p=2 > 1 \), этот ряд сходится. Следовательно, ряд \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} \) сходится абсолютно. Конец интервала 2: \( x = -\frac{3}{2} \) Подставим \( x = -\frac{3}{2} \) в исходный ряд: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \left( -\frac{3}{2} + 2 \right)^k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \left( \frac{1}{2} \right)^k \] \[ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \frac{1}{2^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \] Это обобщенный гармонический ряд с \( p=2 \). Так как \( p=2 > 1 \), этот ряд сходится. Следовательно, ряд \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \) сходится абсолютно. Таким образом, на обоих концах интервала ряд сходится абсолютно. Окончательный интервал сходимости: \( \left[ -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2} \right] \). Ответ: Радиус сходимости: \( R = \frac{1}{2} \). Интервал сходимости: \( \left[ -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2} \right] \). На концах интервала ряд сходится абсолютно. 4. Разложить подынтегральную функцию в степенной ряд и вычислить интеграл \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx \] с точностью до \( \varepsilon=10^{-4} \). Решение: Сначала разложим функцию \( \sin(t) \) в степенной ряд Маклорена: \[ \sin(t) = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots \] Теперь заменим \( t \) на \( x^2 \): \[ \sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \frac{(x^2)^7}{7!} + \dots \] \[ \sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} + \dots \] Теперь проинтегрируем этот ряд почленно от 0 до \( \frac{1}{2} \): \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx = \int_{0}^{1/2} \left( x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + \dots \right) dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7 \cdot 3!} + \frac{x^{11}}{11 \cdot 5!} - \frac{x^{15}}{15 \cdot 7!} + \dots \right]_{0}^{1/2} \] Подставим пределы интегрирования: \[ = \frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^7}{7 \cdot 3!} + \frac{(1/2)^{11}}{11 \cdot 5!} - \frac{(1/2)^{15}}{15 \cdot 7!} + \dots \] \[ = \frac{1}{3 \cdot 2^3} - \frac{1}{7 \cdot 6 \cdot 2^7} + \frac{1}{11 \cdot 120 \cdot 2^{11}} - \frac{1}{15 \cdot 5040 \cdot 2^{15}} + \dots \] Вычислим первые несколько членов ряда: Первый член: \( a_0 = \frac{1}{3 \cdot 8} = \frac{1}{24} \approx 0.0416666... \) Второй член: \( a_1 = -\frac{1}{42 \cdot 128} = -\frac{1}{5376} \approx -0.0001859... \) Третий член: \( a_2 = \frac{1}{11 \cdot 120 \cdot 2048} = \frac{1}{1320 \cdot 2048} = \frac{1}{2703360} \approx 0.000000369... \) Мы хотим вычислить интеграл с точностью до \( \varepsilon=10^{-4} \). Это знакопеременный ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница (члены убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю). Для такого ряда погрешность при отбрасывании членов не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена. Нам нужно, чтобы \( |a_n| < \varepsilon = 10^{-4} \). Первый член: \( a_0 = \frac{1}{24} \approx 0.0416666 \) Второй член: \( |a_1| = \frac{1}{5376} \approx 0.0001859 \) Третий член: \( |a_2| = \frac{1}{2703360} \approx 0.000000369 \) Так как \( |a_2| \approx 0.000000369 < 10^{-4} \), то для достижения требуемой точности достаточно взять сумму первых двух членов. \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx \approx a_0 + a_1 \] \[ \approx \frac{1}{24} - \frac{1}{5376} \] Приведем к общему знаменателю: \( 5376 = 24 \cdot 224 \). \[ \approx \frac{224}{5376} - \frac{1}{5376} = \frac{223}{5376} \] Вычислим десятичное значение: \[ \frac{223}{5376} \approx 0.04148065... \] Округлим до четырех знаков после запятой: \[ 0.0415 \] Проверим точность: Погрешность \( |a_2| \approx 0.00000036