Задача: Площадь трапеции
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке:
Решение:
1. Определим известные величины трапеции.
На рисунке изображена трапеция \(ABCD\). Известны следующие длины:
- Верхнее основание \(BC = 5\).
- Нижнее основание \(AD\). Оно состоит из двух отрезков: \(AE = 7\) и \(ED = 15\).
- Боковая сторона \(AB = 25\).
- Боковая сторона \(CD = 26\).
- Высота \(BE\). На рисунке также указана длина отрезка \(BE\) как 24. Это и есть высота трапеции.
2. Вычислим длину нижнего основания \(AD\).
Нижнее основание \(AD\) равно сумме отрезков \(AE\) и \(ED\):
\[AD = AE + ED = 7 + 15 = 22\]
3. Проверим, является ли трапеция прямоугольной или равнобедренной.
На рисунке показана высота \(BE\), которая перпендикулярна основанию \(AD\). Это означает, что треугольник \(ABE\) является прямоугольным. Проверим, соответствует ли длина \(AB\) (гипотенуза) теореме Пифагора для треугольника \(ABE\), где катеты \(AE = 7\) и \(BE = 24\):
\[AB^2 = AE^2 + BE^2\]
\[25^2 = 7^2 + 24^2\]
\[625 = 49 + 576\]
\[625 = 625\]
Равенство выполняется, значит, высота \(BE = 24\) действительно является высотой трапеции, и треугольник \(ABE\) прямоугольный.
Теперь проведем вторую высоту \(CF\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). Отрезок \(EF\) будет равен верхнему основанию \(BC\), то есть \(EF = 5\).
Тогда отрезок \(FD\) можно найти как \(AD - AE - EF = 22 - 7 - 5 = 10\).
Проверим, соответствует ли длина \(CD\) (гипотенуза) теореме Пифагора для треугольника \(CFD\), где катеты \(CF = BE = 24\) и \(FD = 10\):
\[CD^2 = CF^2 + FD^2\]
\[26^2 = 24^2 + 10^2\]
\[676 = 576 + 100\]
\[676 = 676\]
Равенство также выполняется, что подтверждает правильность всех данных на рисунке.
4. Вычислим площадь трапеции.
Формула для площади трапеции:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]
где \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции, а \(h\) — ее высота.
В нашем случае:
- Верхнее основание \(a = BC = 5\).
- Нижнее основание \(b = AD = 22\).
- Высота \(h = BE = 24\).
Подставим эти значения в формулу:
\[S = \frac{5 + 22}{2} \cdot 24\]
\[S = \frac{27}{2} \cdot 24\]
\[S = 27 \cdot \frac{24}{2}\]
\[S = 27 \cdot 12\]
Выполним умножение:
\[27 \cdot 12 = 27 \cdot (10 + 2) = 27 \cdot 10 + 27 \cdot 2 = 270 + 54 = 324\]
Ответ: Площадь трапеции равна 324.