Задача: Площадь трапеции
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке:
Дано:
- Верхнее основание \(BC = 5\)
- Часть нижнего основания \(AE = 7\)
- Часть нижнего основания \(ED = 15\)
- Боковая сторона \(AB = 25\)
- Боковая сторона \(CD = 26\)
- Высота \(BE = 24\) (это видно из рисунка, где \(BE\) перпендикулярно \(AD\), и число 24 указано рядом с \(BE\))
Найти: Площадь трапеции \(S_{ABCD}\)
Ход решения:
1. Определим длины оснований трапеции.
- Верхнее основание \(a = BC = 5\).
- Нижнее основание \(b = AD = AE + ED = 7 + 15 = 22\).
2. Определим высоту трапеции.
На рисунке явно указана высота \(h = BE = 24\). Мы можем проверить это, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных высотами.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\). Катеты \(AE = 7\), \(BE = 24\). Гипотенуза \(AB = 25\). Проверим: \(AE^2 + BE^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\). \(AB^2 = 25^2 = 625\). Так как \(625 = 625\), данные согласуются.
- Проведем вторую высоту \(CF\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). Тогда \(CF = BE = 24\). Отрезок \(EF\) будет равен верхнему основанию \(BC\), то есть \(EF = 5\). Отрезок \(FD = AD - AE - EF = 22 - 7 - 5 = 10\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CFD\). Катеты \(CF = 24\), \(FD = 10\). Гипотенуза \(CD = 26\). Проверим: \(CF^2 + FD^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\). \(CD^2 = 26^2 = 676\). Так как \(676 = 676\), данные также согласуются.
Все данные на рисунке непротиворечивы, и высота трапеции \(h = 24\).
3. Вычислим площадь трапеции.
Формула для площади трапеции:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]
Подставим значения:
\[S = \frac{5 + 22}{2} \cdot 24\]
\[S = \frac{27}{2} \cdot 24\]
\[S = 27 \cdot \frac{24}{2}\]
\[S = 27 \cdot 12\]
Выполним умножение:
\[27 \cdot 12 = 324\]
Ответ: Площадь трапеции равна 324.
Все шаги логичны, формулы применены правильно, и вычисления проверены. Ответ 324 является верным для данной задачи.