help_outline
Условие задачи
Решить подробно выделенное красным кружком
lightbulb
Краткий ответ
Производная функции y = (3 - 2x)^5 равна -10(3 - 2x)^4. Решение включает применение правила дифференцирования сложной функции с подробным разбором каждого шага.
Хорошо, давайте решим задачи, выделенные красным кружком. Это задачи на вычисление производных сложных функций. Для решения таких задач мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции: если \(y = f(u)\) и \(u = g(x)\), то производная \(y\) по \(x\) равна \(y' = f'(u) \cdot u'\).
Задача 2
Дана функция: \(y = (3 - 2x)^5\)
Шаг 1: Определим внешнюю и внутреннюю функции.
Внешняя функция: \(f(u) = u^5\)
Внутренняя функция: \(u = 3 - 2x\)
Шаг 2: Найдем производную внешней функции по \(u\).
Производная \(f(u) = u^5\) по \(u\) равна \(f'(u) = 5u^{5-1} = 5u^4\).
Шаг 3: Найдем производную внутренней функции по \(x\).
Производная \(u = 3 - 2x\) по \(x\) равна \(u' = (3)' - (2x)' = 0 - 2 = -2\).
Шаг 4: Применим правило дифференцирования сложной функции.
\(y' = f'(u) \cdot u'\)
Подставим \(f'(u)\) и \(u'\):
\(y' = 5u^4 \cdot (-2)\)
Шаг 5: Заменим \(u\) на \(3 - 2x\).
\(y' = 5(3 - 2x)^4 \cdot (-2)\)
Шаг 6: Упростим выражение.
\(y' = -10(3 - 2x)^4\)
Ответ: Производная функции \(y = (3 - 2x)^5\) равна \(y' = -10(3 - 2x)^4\).
Задача 3
Дана функция: \(y = (2x^2 + \sqrt{x})^2\)
Шаг 1: Определим внешнюю и внутреннюю функции.
Внешняя функция: \(f(u) = u^2\)
Внутренняя функция: \(u = 2x^2 + \sqrt{x}\)
Шаг 2: Найдем производную внешней функции по \(u\).
Производная \(f(u) = u^2\) по \(u\) равна \(f'(u) = 2u^{2-1} = 2u\).
Шаг 3: Найдем производную внутренней функции по \(x\).
Для этого нам нужно найти производную каждого слагаемого в \(u = 2x^2 + \sqrt{x}\).
Производная \(2x^2\) по \(x\) равна \(2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x\).
Производную \(\sqrt{x}\) можно записать как \(x^{\frac{1}{2}}\).
Производная \(x^{\frac{1}{2}}\) по \(x\) равна \(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Таким образом, производная \(u = 2x^2 + \sqrt{x}\) по \(x\) равна \(u' = 4x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Шаг 4: Применим правило дифференцирования сложной функции.
\(y' = f'(u) \cdot u'\)
Подставим \(f'(u)\) и \(u'\):
\(y' = 2u \cdot \left(4x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
Шаг 5: Заменим \(u\) на \(2x^2 + \sqrt{x}\).
\(y' = 2(2x^2 + \sqrt{x}) \cdot \left(4x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
Ответ: Производная функции \(y = (2x^2 + \sqrt{x})^2\) равна \(y' = 2(2x^2 + \sqrt{x}) \cdot \left(4x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\).
Задача 11
Дана функция: \(y = \sin 4x\)
Шаг 1: Определим внешнюю и внутреннюю функции.
Внешняя функция: \(f(u) = \sin u\)
Внутренняя функция: \(u = 4x\)
Шаг 2: Найдем производную внешней функции по \(u\).
Производная \(f(u) = \sin u\) по \(u\) равна \(f'(u) = \cos u\).
Шаг 3: Найдем производную внутренней функции по \(x\).
Производная \(u = 4x\) по \(x\) равна \(u' = (4x)' = 4\).
Шаг 4: Применим правило дифференцирования сложной функции.
\(y' = f'(u) \cdot u'\)
Подставим \(f'(u)\) и \(u'\):
\(y' = \cos u \cdot 4\)
Шаг 5: Заменим \(u\) на \(4x\).
\(y' = \cos(4x) \cdot 4\)
Шаг 6: Упростим выражение.
\(y' = 4 \cos(4x)\)
Ответ: Производная функции \(y = \sin 4x\) равна \(y' = 4 \cos(4x)\).
