Задача 1
Какой объём будет занимать газ при температуре 77°C, если при 27°C его объём равен 0,006 м3, при постоянном давлении.
Дано:
\(T_1 = 27^\circ C\)
\(V_1 = 0,006 \, м^3\)
\(T_2 = 77^\circ C\)
\(P = const\)
Найти:
\(V_2\)
СИ:
Переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины:
\(T_1 = 27 + 273 = 300 \, K\)
\(T_2 = 77 + 273 = 350 \, K\)
Решение:
Поскольку давление газа постоянно, мы можем использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что для данной массы газа при постоянном давлении объём газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]
Из этой формулы выразим \(V_2\):
\[V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим известные значения:
\[V_2 = 0,006 \, м^3 \cdot \frac{350 \, K}{300 \, K}\]
\[V_2 = 0,006 \cdot \frac{35}{30}\]
\[V_2 = 0,006 \cdot \frac{7}{6}\]
\[V_2 = 0,001 \cdot 7\]
\[V_2 = 0,007 \, м^3\]
Ответ: Объём газа будет занимать 0,007 м3.
Задача 2
Газ при давлении 200 кПа и температуре 17°C имеет объём 5 л. Чему равен объём (л) этой массы газа при давлении 100 кПа и температуре -3°C?
Дано:
\(P_1 = 200 \, кПа\)
\(T_1 = 17^\circ C\)
\(V_1 = 5 \, л\)
\(P_2 = 100 \, кПа\)
\(T_2 = -3^\circ C\)
Найти:
\(V_2\)
СИ:
Переведём температуры в Кельвины:
\(T_1 = 17 + 273 = 290 \, K\)
\(T_2 = -3 + 273 = 270 \, K\)
Объём можно оставить в литрах, так как в ответе тоже требуется в литрах.
Решение:
Для решения этой задачи используем объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона), который связывает давление, объём и температуру газа:
\[\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\]
Из этой формулы выразим \(V_2\):
\[V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}\]
Подставим известные значения:
\[V_2 = \frac{200 \, кПа \cdot 5 \, л \cdot 270 \, K}{100 \, кПа \cdot 290 \, K}\]
\[V_2 = \frac{200 \cdot 5 \cdot 270}{100 \cdot 290} \, л\]
\[V_2 = \frac{2 \cdot 5 \cdot 270}{290} \, л\]
\[V_2 = \frac{10 \cdot 270}{290} \, л\]
\[V_2 = \frac{2700}{290} \, л\]
\[V_2 \approx 9,31 \, л\]
Ответ: Объём газа будет примерно 9,31 л.
Задача 3
В баллоне вместимостью 25,6 л находится 1,04 кг азота при давлении 3,55 МПа. Определить температуру газа.
Дано:
\(V = 25,6 \, л\)
\(m = 1,04 \, кг\)
\(P = 3,55 \, МПа\)
Молярная масса азота (\(N_2\)): \(M = 28 \, г/моль = 0,028 \, кг/моль\)
Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,31 \, Дж/(моль \cdot K)\)
Найти:
\(T\)
СИ:
Переведём объём в м3:
\(V = 25,6 \, л = 25,6 \cdot 10^{-3} \, м^3\)
Переведём давление в Паскали:
\(P = 3,55 \, МПа = 3,55 \cdot 10^6 \, Па\)
Решение:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[PV = \frac{m}{M} RT\]
Из этой формулы выразим температуру \(T\):
\[T = \frac{PVM}{mR}\]
Подставим известные значения:
\[T = \frac{3,55 \cdot 10^6 \, Па \cdot 25,6 \cdot 10^{-3} \, м^3 \cdot 0,028 \, кг/моль}{1,04 \, кг \cdot 8,31 \, Дж/(моль \cdot K)}\]
\[T = \frac{3,55 \cdot 25,6 \cdot 0,028 \cdot 10^3}{1,04 \cdot 8,31} \, K\]
\[T = \frac{2540,8}{8,6424} \, K\]
\[T \approx 293,99 \, K\]
Можно перевести температуру в градусы Цельсия:
\(T_{^\circ C} = 293,99 - 273 = 20,99^\circ C\)
Ответ: Температура газа примерно 294 K (или 21°C).
Задача 4
Определите массу водорода, находящегося в баллоне вместимостью 20 л под давлением 830 кПа при температуре 17°C.
Дано:
\(V = 20 \, л\)
\(P = 830 \, кПа\)
\(T = 17^\circ C\)
Молярная масса водорода (\(H_2\)): \(M = 2 \, г/моль = 0,002 \, кг/моль\)
Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,31 \, Дж/(моль \cdot K)\)
Найти:
\(m\)
СИ:
Переведём объём в м3:
\(V = 20 \, л = 20 \cdot 10^{-3} \, м^3\)
Переведём давление в Паскали:
\(P = 830 \, кПа = 830 \cdot 10^3 \, Па\)
Переведём температуру в Кельвины:
\(T = 17 + 273 = 290 \, K\)
Решение:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[PV = \frac{m}{M} RT\]
Из этой формулы выразим массу \(m\):
\[m = \frac{PVM}{RT}\]
Подставим известные значения:
\[m = \frac{830 \cdot 10^3 \, Па \cdot 20 \cdot 10^{-3} \, м^3 \cdot 0,002 \, кг/моль}{8,31 \, Дж/(моль \cdot K) \cdot 290 \, K}\]
\[m = \frac{830 \cdot 20 \cdot 0,002}{8,31 \cdot 290} \, кг\]
\[m = \frac{33,2}{2409,9} \, кг\]
\[m \approx 0,01377 \, кг\]
Можно перевести массу в граммы:
\(m \approx 13,77 \, г\)
Ответ: Масса водорода примерно 0,0138 кг (или 13,77 г).
Задача 5
Газ находится в сосуде объёмом 2 л, имеет давление 3 атм. Какое давление будет у газа, если объём сосуда уменьшить до 1 л, при условии, что температура остаётся постоянной?
Дано:
\(V_1 = 2 \, л\)
\(P_1 = 3 \, атм\)
\(V_2 = 1 \, л\)
\(T = const\)
Найти:
\(P_2\)
СИ:
Объём можно оставить в литрах, давление в атмосферах, так как в ответе тоже требуется в атмосферах.
Решение:
Поскольку температура газа постоянна, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём постоянно:
\[P_1 V_1 = P_2 V_2\]
Из этой формулы выразим \(P_2\):
\[P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2}\]
Подставим известные значения:
\[P_2 = \frac{3 \, атм \cdot 2 \, л}{1 \, л}\]
\[P_2 = 6 \, атм\]
Ответ: Давление газа будет 6 атм.
Задача 6
Идеальный газ находится в герметичном сосуде, его температуру увеличили в 2 раза. Во сколько раз изменилось давление газа?
Дано:
\(V = const\) (герметичный сосуд)
\(T_2 = 2T_1\)
Найти:
Во сколько раз изменилось давление (\(P_2/P_1\))
СИ:
Все величины даны в относительных единицах, поэтому перевод в СИ не требуется.
Решение:
Поскольку объём газа постоянен, мы можем использовать закон Шарля, который гласит, что для данной массы газа при постоянном объёме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
\[\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\]
Из этой формулы выразим отношение давлений \(P_2/P_1\):
\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим известное отношение температур:
\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{2T_1}{T_1}\]
\[\frac{P_2}{P_1} = 2\]
Ответ: Давление газа увеличилось в 2 раза.
Задача 7
20-литровый баллон содержит 6 атмосфер газа при температуре 27°C. Каким было бы давление газа, если бы его нагрели до 77°C?
Дано:
\(V = 20 \, л\) (объём баллона постоянен)
\(P_1 = 6 \, атм\)
\(T_1 = 27^\circ C\)
\(T_2 = 77^\circ C\)
Найти:
\(P_2\)
СИ:
Переведём температуры в Кельвины:
\(T_1 = 27 + 273 = 300 \, K\)
\(T_2 = 77 + 273 = 350 \, K\)
Давление можно оставить в атмосферах.
Решение:
Поскольку объём газа постоянен, мы используем закон Шарля:
\[\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\]
Из этой формулы выразим \(P_2\):
\[P_2 = P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим известные значения:
\[P_2 = 6 \, атм \cdot \frac{350 \, K}{300 \, K}\]
\[P_2 = 6 \cdot \frac{35}{30} \, атм\]
\[P_2 = 6 \cdot \frac{7}{6} \, атм\]
\[P_2 = 7 \, атм\]
Ответ: Давление газа стало бы 7 атм.
Задача 8
В сосуде находится газ под давлением 50 кПа. Какое установилось давление в сосуде, после того как из него выпустили 2/3 газа? Температуру газа считать неизменной. Ответ дайте в кПа и округлите до десятых.
Дано:
\(P_1 = 50 \, кПа\)
\(T = const\)
\(V = const\)
Выпустили 2/3 газа, значит, осталось \(1