Решение задачи: закон Гей-Люссака (V2)

Хорошо, давайте решим эти задачи по физике.
1) Какой объём будет занимать газ при температуре \(77^\circ \text{C}\), если при \(27^\circ \text{C}\) его объём равен \(0,006 \text{ м}^3\), при постоянном давлении.
Дано:
\(V_1 = 0,006 \text{ м}^3\)
\(t_1 = 27^\circ \text{C}\)
\(t_2 = 77^\circ \text{C}\)
\(p = \text{const}\)
Найти:
\(V_2\)
СИ:
\(T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350 \text{ К}\)
Решение:
Поскольку давление газа постоянно, мы можем использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что для данной массы газа при постоянном давлении объём газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]
Выразим \(V_2\):
\[V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим значения:
\[V_2 = 0,006 \text{ м}^3 \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\]
\[V_2 = 0,006 \cdot \frac{35}{30}\]
\[V_2 = 0,006 \cdot \frac{7}{6}\]
\[V_2 = 0,001 \cdot 7\]
\[V_2 = 0,007 \text{ м}^3\]
Ответ: Объём газа будет \(0,007 \text{ м}^3\).
2) Газ при давлении \(200 \text{ кПа}\) и температуре \(17^\circ \text{C}\) имеет объём \(5 \text{ л}\). Чему равен объём (л) этой массы газа при давлении \(100 \text{ кПа}\) и температуре \(-3^\circ \text{C}\)?
Дано:
\(p_1 = 200 \text{ кПа}\)
\(t_1 = 17^\circ \text{C}\)
\(V_1 = 5 \text{ л}\)
\(p_2 = 100 \text{ кПа}\)
\(t_2 = -3^\circ \text{C}\)
Найти:
\(V_2\)
СИ:
\(T_1 = t_1 + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = -3 + 273 = 270 \text{ К}\)
\(V_1 = 5 \text{ л}\) (можно оставить в литрах, так как ответ тоже нужен в литрах)
Решение:
Для данной массы газа мы можем использовать объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона):
\[\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}\]
Выразим \(V_2\):
\[V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}\]
Подставим значения:
\[V_2 = \frac{200 \text{ кПа} \cdot 5 \text{ л} \cdot 270 \text{ К}}{100 \text{ кПа} \cdot 290 \text{ К}}\]
\[V_2 = \frac{2 \cdot 5 \cdot 270}{290}\]
\[V_2 = \frac{10 \cdot 270}{290}\]
\[V_2 = \frac{2700}{290}\]
\[V_2 \approx 9,31 \text{ л}\]
Ответ: Объём газа будет примерно \(9,31 \text{ л}\).
3) В баллоне вместимостью \(25,6 \text{ л}\) находится \(1,04 \text{ кг}\) азота при давлении \(3,55 \text{ МПа}\). Определить температуру газа.
Дано:
\(V = 25,6 \text{ л}\)
\(m = 1,04 \text{ кг}\)
\(p = 3,55 \text{ МПа}\)
Молярная масса азота \(M(\text{N}_2) = 28 \text{ г/моль} = 0,028 \text{ кг/моль}\)
Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)
Найти:
\(T\)
СИ:
\(V = 25,6 \text{ л} = 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)
\(p = 3,55 \text{ МПа} = 3,55 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
Решение:
Используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):
\[pV = \frac{m}{M} RT\]
Выразим температуру \(T\):
\[T = \frac{pVM}{mR}\]
Подставим значения:
\[T = \frac{3,55 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,028 \text{ кг/моль}}{1,04 \text{ кг} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}}\]
\[T = \frac{3,55 \cdot 25,6 \cdot 0,028 \cdot 10^3}{1,04 \cdot 8,31}\]
\[T = \frac{2540,8}{8,6424}\]
\[T \approx 293,99 \text{ К}\]
Переведём в градусы Цельсия:
\(t = T - 273 = 293,99 - 273 = 20,99^\circ \text{C}\)
Ответ: Температура газа примерно \(294 \text{ К}\) или \(21^\circ \text{C}\).
4) Определите массу водорода, находящегося в баллоне вместимостью \(20 \text{ л}\) под давлением \(830 \text{ кПа}\) при температуре \(17^\circ \text{C}\).
Дано:
\(V = 20 \text{ л}\)
\(p = 830 \text{ кПа}\)
\(t = 17^\circ \text{C}\)
Молярная масса водорода \(M(\text{H}_2) = 2 \text{ г/моль} = 0,002 \text{ кг/моль}\)
Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)
Найти:
\(m\)
СИ:
\(V = 20 \text{ л} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)
\(p = 830 \text{ кПа} = 830 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
\(T = t + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}\)
Решение:
Используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):
\[pV = \frac{m}{M} RT\]
Выразим массу \(m\):
\[m = \frac{pVM}{RT}\]
Подставим значения:
\[m = \frac{830 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,002 \text{ кг/моль}}{8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 290 \text{ К}}\]
\[m = \frac{830 \cdot 20 \cdot 0,002}{8,31 \cdot 290}\]
\[m = \frac{33,2}{2409,9}\]
\[m \approx 0,01377 \text{ кг}\]
Переведём в граммы:
\(m \approx 13,77 \text{ г}\)
Ответ: Масса водорода примерно \(0,0138 \text{ кг}\) или \(13,8 \text{ г}\).
5) Газ находится в сосуде объёмом \(2 \text{ л}\), имеет давление \(3 \text{ атм}\). Какое давление будет у газа, если объём сосуда уменьшить до \(1 \text{ л}\), при условии, что температура остаётся постоянной?
Дано:
\(V_1 = 2 \text{ л}\)
\(p_1 = 3 \text{ атм}\)
\(V_2 = 1 \text{ л}\)
\(T = \text{const}\)
Найти:
\(p_2\)
СИ:
Все величины можно оставить в исходных единицах, так как они сокращаются.
Решение:
Поскольку температура газа постоянна, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём постоянно:
\[p_1 V_1 = p_2 V_2\]
Выразим \(p_2\):
\[p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2}\]
Подставим значения:
\[p_2 = \frac{3 \text{ атм} \cdot 2 \text{ л}}{1 \text{ л}}\]
\[p_2 = 6 \text{ атм}\]
Ответ: Давление газа будет \(6 \text{ атм}\).
6) Идеальный газ находится в герметичном сосуде, его температуру увеличили в 2 раза. Во сколько раз изменилось давление газа?
Дано:
\(V = \text{const}\) (герметичный сосуд)
\(T_2 = 2 T_1\)
Найти:
Отношение \(p_2 / p_1\)
СИ:
Не требуется.
Решение:
Поскольку объём газа постоянен, мы можем использовать закон Шарля, который гласит, что для данной массы газа при постоянном объёме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]
Выразим отношение \(p_2 / p_1\):
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим \(T_2 = 2 T_1\):
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{2 T_1}{T_1}\]
\[\frac{p_2}{p_1} = 2\]
Ответ: Давление газа увеличилось в 2 раза.
7) \(20\)-литровый баллон содержит \(6\) атмосфер газа при температуре \(27^\circ \text{C}\). Каким было бы давление газа, если бы его нагрели до \(77^\circ \text{C}\)?
Дано:
\(V = \text{const}\) (баллон)
\(p_1 = 6 \text{ атм}\)
\(t_1 = 27^\circ \text{C}\)
\(t_2 = 77^\circ \text{C}\)
Найти:
\(p_2\)
СИ:
\(T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350 \text{ К}\)
Решение:
Поскольку объём газа постоянен, мы можем использовать закон Шарля:
\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]
Выразим \(p_2\):
\[p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим значения:
\[p_2 = 6 \text{ атм} \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\]
\[p_2 = 6 \cdot \frac{35}{30}\]
\[p_2 = 6 \cdot \frac{7}{6}\]
\[p_2 = 7 \text{ атм}\]
Ответ: Давление газа было бы \(7 \text{ атм}\).
8) В сосуде находится газ под давлением \(50 \text{ кПа}\). Какое установилось давление в сосуде, после того как из него выпустили \(2/3\) газа? Температуру газа считать неизменной. Ответ дайте в кПа и округлите до десятых.
Дано:
\(p_1 = 50 \text{ кПа}\)
\(T = \text{const}\)
\(V = \text{const}\) (сосуд)
Выпустили \(2/3\) газа, значит, осталось \(1 - 2/3 = 1/3\) от первоначальной массы (или количества молей) газа.
\(m_2 = \frac{1}{3} m_1\) (или \(n_2 = \frac{1}{3} n_1\))
Найти:
\(p_2\)
СИ:
Не требуется.
Решение:
Используем уравнение состояния идеального газа:
\[pV = \frac{m}{M} RT\]
Так как \(V\), \(T\), \(R\), \(M\) постоянны, давление прямо пропорционально массе газа:
\[p \sim m\]
Значит,
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2}{m_1}\]
Подстави