Хорошо, давайте разберем каждое утверждение, чтобы найти верное.
Задача
Какое из следующих утверждений верно?
1. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
2. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение по порядку:
1. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
Для того чтобы четырёхугольник можно было вписать в окружность, сумма его противоположных углов должна быть равна 180 градусам.
У параллелограмма противоположные углы равны. Если мы впишем параллелограмм в окружность, то сумма противоположных углов будет 180 градусов. Так как противоположные углы равны, то каждый из них должен быть равен \(180^\circ / 2 = 90^\circ\).
Это означает, что в окружность можно вписать только прямоугольник (который является частным случаем параллелограмма с углами 90 градусов). Обычный параллелограмм, у которого углы не равны 90 градусам, вписать в окружность нельзя.
Следовательно, это утверждение неверно.
2. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
По определению и свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что угол между радиусом и касательной равен 90 градусам.
Параллельные прямые не пересекаются и имеют одинаковый наклон. Перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90 градусов.
Следовательно, касательная не параллельна радиусу, а перпендикулярна ему.
Это утверждение неверно.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Мы знаем, что сумма всех углов в любом треугольнике равна 180 градусам.
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам (это прямой угол).
Пусть углы треугольника будут \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\). Если \(\gamma = 90^\circ\), то \(\alpha\) и \(\beta\) — это острые углы.
Тогда \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
Подставляем значение прямого угла: \(\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ\).
Вычитаем 90 градусов из обеих частей уравнения: \(\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ\).
Получаем: \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
Это означает, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника действительно равна 90 градусам.
Следовательно, это утверждение верно.
